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1)  logarithmic mean value
对数平均值
2)  mean value of logarithm
对数均值
1.
Since Ostle and Terwilliger discovered the inequality in 1957,the sequential relationship among mean value of index,mean value of logarithm and mean value of power has aroused great interests of many scholars,for example,the inequality in the first to the ninth reference books.
自1957年Ostle和Terwilliger发现不等式以来,指数均值、对数均值和幂均值之间的序关系引起了不少学者的兴趣。
3)  digital average
数值平均
4)  logarithmic mean
对数平均
1.
In this article,we give some sufficient conditions about the law of large number of logarithmic mean.
关于算术平均和几何平均极限定理在许多文献中有所研究,本文主要给出对数平均大数定律成立的若干充分条件。
2.
In this paper, we prove the inequality relations of arithemetric mean, logarithmic mean, exponential mean and geometric mean for two positive numbers by using probabilistic method.
本文用概率方法证明了关于两个相异的正数的几何平均、对数平均、指数平均和算术平均的不等式关系 。
5)  the logarithmic mean
对数平均
1.
The power mean and the logarithmic mean attract considerable interest due to their wide applications.
研究幂平均及对数平均之间的一些关系 ,获得了一些有趣的结果 。
2.
Vuorinen s question on the t-modified Gauss arithmetic-geometric mean and the logarithmic mean,and show a kind of relation between the t-modified arithmetic mean A,(x,y) and E(r), the complete elliptic integral of the second kind.
Vuorinen提出的关于t—修正的Gauss算术—几何平均与对数平均的一个问题之否定回答，并揭示了第二类完全椭圆积分E（r）与t—修正的算术平均At（x，y）之间的关系──从而解决了M。
6)  the function of minimum average absolute difference
最小平均绝对差值函数
补充资料：均值不等式

几个重要不等式(一)

一、平均值不等式

设a1,a2,…, an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=an时取等号

1.二维平均值不等式的变形

(1)对实数a,b有a2+b2³2ab　　　　　　　　　 (2)对正实数a,b有

(3)对b>0，有，　　 (4)对ab2>0有，

(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)　　　　　　　　　　　　　　　 (6)对a>0,有

(7) 对a>0,有　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8)对实数a，b有a2³2ab-b2

(9) 对实数a，b及l¹0，有

二、例题选讲

例1.证明柯西不等式

证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取

代入(9)得有

两边平方得

法二、，即二次式不等式恒成立

则判别式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：

(1)

(2)

证明：(1)左=[]

=

³

(2)由知

同理：

相加得：左³

例3.求证：

证明：法一、取，有

a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)

相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0

所以

法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)

=(a12+ a22+…+ an2)n,

所以原不等式成立

例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：

证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,

则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)

1-a1=a2+a3+…+an+1³n

1-a2=a1+a3+…+an+1³n

…………………………………………

1-an+1=a1+a1+…+an³n

相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1

例5.对于正整数n，求证：

证明：法一、

>

法二、左=

=

例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证：

(1)

(2)

证明：(1)

相乘左边³=(n2+1)n

证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

³ -n+2×n

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参考词条