补充资料：Σ(基调)代数

Σ(基调)代数
∑(signature) algebra

　　乏(J一d lao)da一shu名(基调)代数(名(signature)aigebra)一种非齐性代数，由G.Birklloff等于1970年作为对齐性代数的推广而引进。在非齐性代数中，元素集被分成几个互不相交的子集。每个代数运算均以特定的子集为其定义域和值域。描述这种结构的语法称为基调。 基调和名代数令5={s、}i任川为一有限集，其中I是一个有限下标集，每个s:称为一个类子(可以看作乏代数中元素的类型)。O={oj}]任J}为另一有限集，J也是有限下标集，每个oj称为一个运算。一个k目运算q(k)0)可表为 Oj:5 IX、ZX…X乓~s走+1(1)其中、1，…，、、，sk千les。对偶艺=<5，0>称为一个基调。 给定基调乞。=。假定有一组集合A二{A、}沂I}和一组函数G={石lj任川，使得诸类子凡和诸集合A，之间有一一对应关系，诸运算oj和诸函数无之间也有一一对应关系，且Vi铸j，A‘n人=必。若函数无与式(1)的oj相对应，则寿:A，xA:x.二人~A*十;。满足这些条件的对偶称为一个以乏。为基调的乞代数(或基调代数)，A是它的载体集。 例如，为了定义基调“整数堆”，可设立3种类子:s一int，:2=b昭，:3=h刀l，和9个运算: emPty:一城 Zero:一int true:一1)刃1 false:一比」 sue:int一int Pra卜int一int illsert:basXint一hag r~e:hagXint一bag elernent: hag Xint一b以习 令函数集G二{曰(空堆)，0，T，F，+1，一1，i、(向堆中插人元素)，~(从堆中删去元素)，?(判断某整数是否为堆中元素)}对应于上述运算集。又令载体集A={A，，AZ，A3}，Al={o，o+l，o一l，o+1一1，O+i+1，…}，AZ=1必，ins(必，0)，rern(必，o)，ins(ins(必，o+1)，o)，…}，A3={了，F，?(必，o)，?(rem(必，o)，o+1)，…}。则万=层次结构设和存在单值映射?，把A映射为A’，G映射为G’，且 (l)甲={件11任I}U{介} (2)对a，任A，，吸(a‘)任A、‘，其中A、和A“分别是A和A’中的载体。 (3)对乏中任一运算oj，若f是G中与oj对应的函数，则几(f)二厂是G’中与oj对应的函数。 (4)由f(a一，aZ，…，a*)=a*十1，其中诸a，属于AZ，可得 热+1(f(al，…，a*))=/(沪1(al)，…，傲(a;))则甲称为是到的一个乞同态。乞同态使乞代数的类子属性不变，也使它的函数结构不变。如果把艺代数看作对象，把乞同态看作对象1093.间的态射，则对应于同一基调的所有万代数及其艺同态构成一个范畴。

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