补充资料：三元组

三元组
triple

　　T，(x)卫坞TZ(x) 户T(/){l拼· T2(X)一T(X) 一个三元组有时称为一个标准构造(sta压lard co幻‘-tl飞犯tion)，见[2」. 对于任意一对伴随函子F:服~习，和G:习一级(见伴随函子(adjoinl丘川c加r))，设它们带有伴随单位丫Id*~GF，和余单位别FG~kl，，函子T=GF:服~貌，连同叮:Id*~T，和召=G(:;):产~T是巩上的一个三元组.反之，给出任意一个三元组(T，叮，川，必存在伴随函子F和G的对.使得T=GF，且变换叮和群由上面刻画的伴随单位及余单位得到.一个三元组的这种不同的分解可以组成一个真类.在这个类中，存在一个最小元(幻eisli构造(幻eislico璐tnlc石on))，和一个最大元(Eilenberg一M00re构造(Eilen沈rg一M00reco化切叹tion)). 例l)在集范畴中，将任意集合送到它的全体子集集的函子有三元组结构.一个集合X自然地嵌人它的子集集中，且X的每一个子集集可以对应到这些子集的并. 2)在集范畴中，每一个表示函子H，(X)=H(A，X)给出了一个三元组:映射叮二:X~H(A，X)，将任意x任X送到值为x的常函数f二:A~X;映射拜二:H(A，H(A，X))泛H(A xA，X)~H(A，X)将每一个双变元函数送到它在对角线上的限制函数. 3)在拓扑空间范畴中，任意有单位元e的拓扑群G可以定义一个函子几(X)=XxG，它给出一个三元组:元素x任X对应到(e，x)，而映射拼:XxGxG一xxG定义为拼二(x，g，g’)二(x，99’). 4)在交换环R上的模范畴中，每一个(结合的，有1的)R代数A给出一个函子T，(X)=X⑧‘A，它可与例3)类似定义一个三元组结构.【补注】本条目中非描述性的名称“三元组”现已普遍被“单子”一词取代，尽管有少数固执的范畴学家仍继续使用它.范畴哭上的一个余单子(como朋d)(或余三元组(co州Pk))是哭“p上的一个单子，换言之，它是一个函子T:叽~听，连同自然变换。:T~Id*，和况T~TZ，满足上述交换图的对偶图.每一个函子伴随对(F州G)给出合成FG上的余单子结构，以及GF上的单子结构. 给出余单子结构的函子的一个重要例子是A:R哩~R吨，A(通)=l+rA【【rl}，或等价地，大Witt向量函子，见又环(又.刀旧g);W袱向t(Witt认戈tor)，自然变换W(A)~A(附(A))在代数数论中的一个特殊情况是Artin·H毋指数(八比加一H~eXPonen-砚)，{AS 1. 集范畴中的单子可以等价地用n元算子集来刻画，其中n是任意基数(或集合);叮。

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