补充资料：双有理几何学

双有理几何学
birational geometry

[补注]域打’张Kk是手见IJ的(rc即lar)，如果人在尺内代数闭，且K与k的代数闭包否是庄人上线性无缘的.若人代数闭，则人的任意扩张都是正则的，从而在人L簇和支配有理映射的范畴与有限生成域扩张的范畴之间有一个范畴的逆射等价关系，见{8]，14节.对卜3维的代数簇(双有理)分类，有许多新的结果，见lA川【译注】近年来高维代数簇的双有理分类有突破性进展，可参见!BI工双有理几何学【bi耐门川ge阅etry;向卿月”。出田.胡旧卿-Melp旧1 代数几何学的一个分支，其主要问题是在双有理等价意义下代数簇的分类(见双有理映射(birationalmapPing)).在一个固定的常数域k上，每个双有理等价簇的类定义k上一个有限生成域，它同构于这个类中任一簇上有理函数域.反之，每一个这样的域对应双有理等价簇的类，就是这个域的模型.因此代数簇的双有理分类等价于k上正则的有限生成域(在k同构下)分类. 最常见的双有理不变量(birational invariant)是代数簇的维数.对于一维代数簇—不可约代数曲线，每个双有理等价类包含一个非奇异模型—光滑射影曲线，它在k同构意义下唯一因此，代数曲线的双有理分类归结为光滑射影曲线在k同构下的分类，这就导致了参模问题(m团uli problem).当维数)2时问题变得更加复杂.光滑模型的存在性归结为代数簇的奇点的化解( resolution of singularities)问题，到目前为止(1986)只对曲面以及特征O的域上任意维数的簇有了肯定的解决.在这种情形下，如果这种模型存在，那么在双有理等价簇的类中它们有无穷多个.在这些模型中极小模型(minimal model)占有特殊的地位.它们的双’有理分类往往等同于k同构分类，就像曲线的情形那·样.不过在一般的情形，甚至对(有理而且直纹)曲面并不正确. 代数曲面分类的主要结果是意大利学派的几何学家得到的(【1』).迄今为止(l 986)对于维数)3的簇只得到一些孤立的结果(【3]，【71，[8]). 在特征为零的域介上，光滑完全代数簇的主要离散双有理不变量包括算术亏格，几何亏格，多重亏格，正则微分形式空间的维数，Severi挠率，基本群及Brauer群.双有理儿何学的最重要问题之一足代数簇的有理性11“}题.即有理簇({往t.()nal varlety)的描述!hl题.有理簇是双有理等价J一射影空间的簇 当常数域不是代数闭时双有理儿何学的问题与代数簇的算术(algebr:、le var，etles，ar;。hrrlet!e of)密切相关.这种情形的币要问题是对域人上给定的簇不的双有理人形式的描述，特别是f二P:为人i一射影空间时了!21).对卜簇F!双有理变换群的描述址这个问题重要的部分.

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