补充资料：积和式

积和式
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　　积和式【碑rn.团吧城;。epM翻eHT]，一个(川xn)矩阵A一1 Ia，21!的 函数 二A一万a，。〔万，…a。·(，。，这里a.，是一个交换环中的元素，对一切由{l，…，。}到{1，…，n}内的一一映射。求和.如果m二。，则口表示一切可能的置换，这时积和式是对于H生S。的Sohur矩阵函数(schurff以tr认丘川c石on) d梦‘A，一二“a，，县a二(，，的一个特殊情形，这里x是对称群S。的子群H上一个一次特征标(见群的特征标(character ofagro叩”(对于H=S。，X(a)二土1视a的奇偶性而定，就得到行列式(detern刀n月们t)). 积和式用于线性代数、概率论和组合论中，在组合论里，积和式可以作如下的解释:一个有限集合的一个给定子集族的不同代表系的个数是关于这一族的关联系统(incide戊e system)的关联矩阵的积和式. 主要兴趣是由0和l构成的矩阵((O，l)矩阵)的积和式，由非负实数构成的矩阵的积和式，特别是二重随机矩阵(doubly一stochastic订么tr认)(其中任意行和任意列的元素的和都是l)的积和式，以及复Her而te矩阵(He蒯t助rnatr议)的积和式.积和式的基本性质中包括一个展开定理(类似于行列式的Lap-hce定理)和B让七t一Cauchy定理，这个定理给出了将两个矩阵乘积的积和式表示成由余子式所形成的积和式的乘积之和.对于复矩阵的积和式来说将其表示为完全对称张量的对称类内的标量积是方便的(例如，见【3〕).计算积和式最有效的方法之一是由R邓er公式(Ryser formula)提供的: 肠一lm 阿注=艺(一z)’艺flr，(x)， r·ox〔r一‘·l这里r*是方阵A的川xk维子矩阵的集合，r‘=r‘(X)是X的第i行元素的和，i，k”l，…，m.由于计算积和式是复杂的，所以对它们作出估值是重要的.有些下界被给出如下: a)如果A是一个(0，1)矩阵，r，(A)〕t，i=l，…，川，那么当t)川时，perA)了卫一， 气「一m)!当t<爪且perA>0时， perA)日. b)如果A是一个n阶(o，l)矩阵，那么 per‘)只沉十‘一”}，这里::)…):;是A的行里元素的和按不增次序排列而{:)+i一}二max(0，r)+i一。

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