补充资料：矩阵求逆

矩阵求逆
inversion of a matrix

}1 10·011}}la，·a_{} T一，=卫‘}}b:1二1{·}}01·}}十 P，{l。1 11}_。{l 二了，日二"IJ .a，11 }}b。·b:1{}{!o·01!{ {10·…0 11!}ob_…b，}} !}a_·!11}·01} P。}}二}}1}.b.}1 1}a，‘·‘a。0}1}}00…o}} (2)其中向量 上(lb，二b_)r和上(。_…。，“ P二一P。分别是T一’的第一列和最后一列因此，T完全由给定的它的第一列和最后一列描述.由(2)，T一’的所有元素可以逐次计算出: {T一’}‘、:，，、，一{T一’}:，，+ +上(b.，。一。b_、. P。这个计算需要O(”2)个算术运算. 在予笼plitZ矩阵求逆的经济算法(例如见【3』)电a‘，气和p。的计算是由递归公式进行的.而且也需要O(n’)个运算.主子矩阵非奇异这个条件可以放宽，而仍然只需要O(nZ)个算术运算. 矩阵求逆有时是为了用公式x二A一’b来解线性方程组Ax=b.对一般形式的矩阵，这样做几乎没有意义，因为与线性方程组的直接求解方法相比较，它将增加运算量而且损失数值稳定性.可是对及即h忱(和有关的)矩阵，情况就不同了.如表达式(2)所示，T一’b的计算简化为执行毛义plits矩阵和向量的四个乘法和一个向量减法.有毛笼pliIZ矩阵与向量乘的经济算法，这种算法需要(对n阶)O(”losn)个运算.对予笼plitZ方程组的解法，算术运算量还不能达到这种渐近状态(现在，这些算法中最好的方法需要O(n fogZn)个运算).因此，对具有同一予艾plitZ矩阵T和不同右边b的线性方程组Tx=b的重复求解，预先将T求逆似乎是合理的. 在具有许多并行处理器的计算机上，重复求解具有同一个一般形式矩阵的线性方程组时，预先求出矩阵的逆是很合理的，因为与矩阵与向量相乘比较，解线性方程组的直接法不具有这种方便的并行性. 在许多情况(例如在数学规划的拟Newton方法中)，要求矩阵A的逆，它与具有已知逆阵B一’的矩阵只相差一个秩为l的矩阵或(在B是对称矩阵情况)秩为2的一个对称矩阵.对n阶矩阵，这样重新构造一个逆矩阵可用O(。2)个运算来完成.下面的公式可以作为一个例子(见【4』):如果u和v是列向量，则 (刀+。。T)一，一刀一‘一生刀一1“。

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