补充资料：轨道的极限集

轨道的极限集
limit set of a trajectory

　　轨道的极限集【如血袱ofatrajectory;帅e肚肠HoeM朋二ecTBo]，动力系统厂的轨道{f‘x}的极限集是{尹x}的所有“极限点的集合A:(“极限集(“一五nlitset))或所有田极限点的集合。尤(臼极限集(。一址面tset))(见轨道的极限点(Um吐point ofa响ectory))系统的轨道{.厂rx}(或用另一种记号，f(t，x)，见「11)的:极限集(。极限集)与动力系统(d犯坦而eal sys-恤)f一‘(逆时间系统)的轨道{厂‘x}的口极限集(相应地，以极限集)相同.因此，“极限集与。极限集的性质相类似. 集合O二是闭的不变集.如果。，二必，则轨道{尹x}称为正向发散的(diver罗刀t inthe泌itive dir-eetion卜如果A二=叻，则称为负向发散的(山vergent运the negative direction);如果h:二诬x’=叻，则该轨道称为发散的(divergent).如果x‘O，，则x称为正凡姚。n稳定的(p仍itive Pbjssons饭比);如果x任A二，则x称为负Poisson稳定的(negative Poissonsta陇);如果x任A:自。:，则x称为Poisson稳定的(Poissons切ble)·如果x护Q，且Q二护势，则戈称为正渐近的(p“itively韶y兀IPto康);如果x诺Ax且Ax笋叻，则点x称为负渐近的(址gativdyas丫rnP-totie). 如果义是正Lag旧n罗稳定点(见Lagl钊嗯e稳定性(Lag份nge stabi】ity))，则Q，是非空连通集， :勿。d(f’x，。二)一0(这里d(:，Y)是点Z到集合Y的距离)并且。二中存在回复点(recurrent point)〔轨道).如果义是不动点，则。:二{、}.如果x是周期点，则 。、={f‘*}:二R二{f‘x}，。‘。:，，这里T是周期.如果点x是正Poisson稳定的，则它既非不动点又非周期点，且若所考虑的动力系统是在完全的度量空间中，则。:中不在轨道{f‘x}上的点在O二中处处稠密. 如果平面动力系统由自治微分方程组(见自治系统(autonomoussys忱m)) 又=f(x)，x任 RZ，f任C‘给出(具有光滑向量场f)，x正L瞿，侧姿稳定但非周期点，并且f在0，上不为零(即Q，中不含不动点)，则n二是一个闭路，即一条闭曲线(周期点的轨道)，而当:~二时，轨道{了‘x}围绕这个闭路螺旋缠绕.对于在R月(n>2)中，或在二维曲面如环面上的动力系统，田极限集可能有着不同的结构.例如，环面上的无理缠绕(系统示“1，沙=拜，这里(甲，少)(modl)是环面T，上的循环坐标系，而召是无理数)，对每一个x=(价，沙)，集合。:与环面重合.【补注】“正向发散的”，“负向发散的”和“发散的”也可换用正后退的(po sitive】y暇曰角g)，负后退的(茂纷石velyreeed如g)和后退的(reeeding)的术语. 上面关于平面动力系统某些极限集的圈结构的论断是所谓Poincar已一Bendixson定理(Poinc耐.欣ndix-son theo~)的一部分(见hinca‘~Baldl策刃n理论(Poinc耐一氏ndixson theory)，亦见极限圈(恤川tcy-cle)).它适用于平面上的任意动力系统(不必由微分方程给出).见〔A3〕，现.1节，或一种避开局部截面的方法，见【Al]第二章，也可由【A2]得.
　　

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