补充资料：微分算子

微分算子
differential operator

作为一般的算子理论一部分的微分算子理论，近来不仅在微分方程的理论中，而且一般地在现代分析中，已显示出不断增长的重要性.它不但产生了无界算子的一些重要的具体的例子(特别在线性微分算子的理论中)，而且产生了表示工具以及其他各种性质的对象的研究方法.例如，任何广义函数(甚至超函数)，是由某个广义的微分算子作用于一个连续函数上而局部地获得.最后，微分算子在其他数学分枝中的作用与影响正在不断增长.例如，所谓指标问题的一个解(见指标公式(i团ex fon刀ulas))，便将一个流形的拓扑特征与其上的一类特殊微分算子的出现联系在一起;由此有可能导出这个流形上椭圆复形的性质.微分算子[山伍洲浏‘101邓，奴;八H中中ePeH一”.“.onepaTopl 微分法算子概念的一种推广.一个微分算子(一般而言，它在它的定义域上是不连续的、无界的且非线性的)，是由某个微分表达式所定义的算子，且作用于微分流形上的一个通常为向量值的函数空间上(或作用于一个可微向量丛的截口上)，要不然便是作用在这种类型空间的对偶空间上.一个微分表达式(differen-tiaiexPresslon)，是由具有基M的向量丛考的截口空间中的某个集合Q到具有相同基的向量丛叮的截口空间中的一个映射又，使得对任何一点P任M以及任何截口f，g任Q，它们的人阶节(Jet)在p点重合导至汀及兄g在同一点重合.对所有的p‘M均符合这个条件的最小数k，称为该微分表达式的阶(o《Ierof此山瓜化吐阁exp比留幻n)与由此表示式定义的攀分算子的阶(。找晚rof此山既田叻以。详窃加r). 在一个没有边界的流形M上的微分算子往往是某个算子的扩张，该算子是由某个集合上一个固定的微分式以一种自然的方式来定义的，这个集合按照某个适当的拓扑是开的，且由给定的具有基M的向量丛亡的无穷次(或足够高次)可微截口组成，因此允许一个自然扩张，它是到可微向量丛的截口的芽构成的层这一情形的.具有边界日M的流形M上的微分算子L常常定义为一个类似算子的扩张，该算子是由可微函数(或一个向量丛的截口)集合上的微分表达式自然定义的，它在刁M上的限制位于日M上的某个微分算子l的核中(或者满足某些其他的条件，这些条件可由某些要求来定义，如不等式，而这些要求在算子l的值域中满足，l则为L的定义域中函数的限制上的算子);微分算子l称为定义了微分算子L的今子争件(加训山卿cOI劝币o1旧).函数(或者截口)空间的对偶空间上的线性微分算子，定义为这些空间上以上类型的微分算子的对偶算子. 例l)设F为k+2个变量x，y。

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