补充资料：双线性映射

双线性映射
bilinear mapping

　　模的一个集合，天是从Kx城到H的双线性映射，并且设V是A模U的直和，W是B模班的直和.由下述法则定义的映射f:V xw~H，是一个双线性映射: ，〔‘答。‘，黔毖}么“一，，称为映射厂的直和(direct sum oflr以ppi飞s).这是一个乎孪(o rth卿al)和，即如果‘有，则子模K与子模砚是关于f正交的. 双线性映射f是非退化的，当且仅当对所有的i已I，关是非退化的.而且，如果f是非退化的，则有 玲=艺代，畔=艺玲 矛手‘l笋.当A=B=H时，一个双线映射称为一个双线性型(bilinear form).乎”，莎赢蕊’袱二篡卿’‘*。两…: 、个从r‘环到一个扭，厅)双撰〔blm浏以e)H的映射f，并满足条件: ~厂(。+。’，、)二、f(;w)十_f(。，*) 八。，w十、1)“八，w)一十八:、、’)· f(俐;w卜:。f(:，w)二 f(。wb)二.t(:、w)六，这里月，B是有单位元的环厂是一个左么月模，片是一个右么B模;。，。’6F，w，w，6环，a6A，b6B是任意选取的元素.2上的张量积f⑧万具有自然的(A .B)双模结构.设州于火W，F⑧W是个典型映射，那么任意双线性映射f将导出一个(_A，引双模同态f:下⑧w~H，井且有_f=f争.如果A二B是交换的，那么所有Vxw到H的双线性映射的集合几(lW，H)关于对A中兀素逐点定义的加法和乘法运算是一个A模，而对应.f今f钟出A模LZ汁‘，W仔)与任模L“一⑧W，H)的一个典型同构，这里乙(F④以月飞是由f的W到H的所有线性映射构成的集合 设犷W是自由模，它们的基分别为。(i‘I)“饭W刀任j)一个双线性映射了一由所有一厂仅w)(f于I，j任为完全决定这是因为对任意的有限子集I‘cj厂仁J、 卜列公式成立 j、{、，a一了、\、{一粤，·f(U认·)。.。一 卜了反之，在任意选定元素h沂H(汗I.J〔力之后、公式(*)定义了一个从F火w到H的双线性映射，这里f([，、w，)一气当I，J有限时，矩阵卜.厂(vt，哄)ll称为f关于给定基的矩阵. 假设给定了一个双线性映射f:F‘体一H两个元素v曰·w任W称为关于了是正交的，如果f(。，耐“O两个子集X仁F与YCw称为关于f是正交的，如果任意x〔X与任意y〔y是正交的，如果X是V的一个子模，那么 笼州w任体;八一‘，们二0，对切、任、子是 W的个子模，称为久的正交子模torth创3ona;submod讯e)或X的正交补(ortho即nal comPlem.:nt)类似地，可以定义命函字模y的正交补Y映射厂称作右退化的(right‘de罗nerate)(左退化的(儿ft一deg-eneraie))，如果v·笋{0}(砰转{哪).子模F‘与评分别称作双线性映射f的左核(回t kemel)与右核(ri ghtkemel)‘如呆护一“且体一“，那么f称为辈退华的(non一de罗nerate);否则，.厂称为退化的(d‘。罗ne‘rate)映射f称为零映射.如果F二W，W二卜 设犷.了币I)是左月模的个集合环(i‘八笼:右B
　　

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