补充资料：多实变函数逼近

多实变函数逼近
eal variables approximation of functions of several

　　线性组合形式，其件”甲、(z)为51:，k、‘、(0毛k，冬，;)或cos丸t(0簇介簇n).多元样条是由。个变量的代数多项式“片”按照确定的光滑条件“粘结”在一起而形成的，J臼有着广泛的应用领域.当。=2时，最简单的多元样条是由多项式片按照与坐标轴平行的直线拼接而成的.作为逼近的一工具，州tl，一t。)也可是关于其中某儿个变量的多项式或样条函数.对于整个空间R川(或R阴的某个无界子集)上给定的非周期函数的逼近，可借助于指数型整函数来实现.指数型整函数可以表成绝对收敛的幂级数和的形式味、(l、…t川厂·乏a、卜、，片心 {，们，(2)这里要对任何:>0和所有复变量:，，·二t川有 1〔J。。，(l，二t，，){‘材声xP艺(n比):小 纬1其中阿是一个仅与。有关的常数(见【1}).应该注意到，与多项式不同，函数(2)由无穷多个参数确定 在多儿场合，Weierstrass定理(Weiers盆rass theo-rem)也成之.它阐明了利用代数(或三角)多项式以任意精度逼近某个有界闭集Q〔R‘一L连续的函数厂任C(Q)(或于整个空间R，!连续且按每个变鼠周期均为27T的函数了。乙(Rm))的可能性.在空间几(Q)及()M期情形F的)空间瓦(Rm)(，‘:<优)中类似的结论也成立.关于最佳逼近的存在性、唯一性、最什逼近函数的特征性质等方面的一般结果和定理以及借助于函数的凸集，特别是子空间，进行逼近时的一般对偶关系等均可以推广到阴儿赋范线性函数空间中去 (见【3]，阱」).然而，要想在多兀情形下通过考虑具体 的度量和逼近子空间的特定性质而获得这些定理的明确阐述，困难是很大的. 人们已对多变量函数的光滑性与用代数多项式、-角多项式以及整函数对其所作的最佳逼近的递减速度之间的关系问题进行了较透彻的研究. 令Q为R用中的任一开集(特别地，Q=Rn，)，e为R’中的单位向量，h>0并令Q*。是由满足It，t十he]任Q的点所Q组成的集合.若f任与(Q)且l簇p<价.则称 公·州;6)，，(。二丈鹭日一/(‘干he)一/(‘)}}，，。为函数f(t，，…，气)沿方向e关一于L。(Q)度量的连续模 (modulus of contin、l，ty).称 .“占)，，(。、一S份p二(厂乙占)‘，(。、为f在气(Q)中的李孕攀· 在周期情形下，三角多项式咒1.。，对具有侣ob。- lev厂一义)偏导数。;_，O，·，:~_、 D几，f二二二一f任L。(R胡) at;’-(其中rv)o为整数，D分=f，v=1，…，m)的函数f任瓦罗)的最佳逼近瓦.，.、氏俘，满足不等式￡。，.，.(f)亏(R·)‘M艺n:r’“e.(D:’f;n‘’)“R·)，(。) F=l其中e，是沿tv方向的单位向量，常数M与f及n，均无关.对于有r=rl十…十‘(这里r=(r:，二、、))阶广义偏导数 。，，a厂，:__、 D rf=—f任Ln(R用、 改;，…at常“的函数f“瓦俘‘)，下述不等式成立:反..二汀)今r，‘兴;，十叉、一严”『广一”咖一(’)女D果 “(Drf;占)几(R·，《K护，o向量h=(h1，…，h，)的长度}h}=(h{十… +儿众)，‘，无关. 对于非周期函数f任乌卿)，如果利用指数型整函 数作为逼近工具，则也有类似的结论.若函数的光滑 性是借助于更高阶的连续模(光滑模)来描述的，则以 上的结果也可以推广到这样的函数类中去(见[l1). 当利用代数多项式p。卜t，、在某个有界平行多面体 (或某些其他的有界集)上逼近函数f〔气(Q)时，类似 (3)，(4)和(5)的正定理已得到了证明.这些定理的 逆，如对定义于有穷区间上的函数那样，只可能在Q 的某个紧子集Q，上成立.如果假定在Q的边界邻域 内有更好的逼近阶(有关正定理指出:有角点的某个邻域 内改善逼近阶是有可能的，见【14])，则这些逆定理均 成立(见【13])，即使(像一元情形那样)在边界的某个 邻域内提高逼近阶，函数f属于H犷，(Q)(函数类 脚十“(Q)由类似于(6)和(7)的条件在C(Q)的度量 下定义)的充分必要条件仍然是未知的(至1983年).然而，下述否定命题是成立的(见〔131).令Q={t:t“r，川(l}，则在C中不存在任何函数列欢，(!t})扭=1，2，…;o<:O及多项式列氏(t)的存在性蕴含了对任何定义于Q上的函数f皆有f任H咨(Q). 为阐明多元函数逼近的特定性质，下述结果值得一提. 令瓦.，、了)了为三角多项式兀.，，在又成一己似z)，或凳一耳皿z))的度量下对周期2二的二元函数f的最佳逼近，瓦，，。了)了为函数兀，，。(此处双卜。是一个三角多项式，它关于变量‘，的次数至多为”，且关于t:的系数是:2的函数)在又中对f的最佳逼近.可类似地定义E。，。，了片. 如果1　　

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