补充资料：连续函数空间

连续函数空间
continuous functions, space of

　　连续函数空间【“扣恤.口‘加州如旧，匆脚瑰of;I.曰甲q肠...洲比勿啊.益。pocTPa取Too」 由拓扑空间X上的有界连续函数f:X~C所组成的、范数为nfll=suP二。xlf(x)}的赋范空间C(X).C(X)中的序列人的收敛意味着一致收敛.空间C(X)是有单位元的交换B..山代数(B anacllai罗bta).如果X是紧的，那么每个连续函数f:X~C是有界的，因而，空间C(X)就是X上的所有连续函数的空间. 当X=fa，b]是实数的闭区间时，C(X)由C【a，b]来表示.按照关于连续函数可用多项式逼近的、叭触招协曰定理(认触沁巧扭达st址泊~)，所有非负整数幂函数的集合1，x，尹，…，是C【a，b卫中的完全系.(这意味着这些幂函数的线性组合，即多项式，在C【a，bl中处处稠密.)因此，C【a，b]是可分的;它也具有基，例如，函数的Fab叮一欣抽回匕系(Faber~Sd坦以北rs岁飞。卫)就形成C【a，b]中的基.在C【a，bl中的紧性准则是由对应的儿11么定理(儿瞿1么tl长幻众沈n)给出的:为使函数f任C〔a，b]的某个族在C〔a，b]中是相对紧的，其充要条件为这个族一致有界和等度连续.这条定理可推广到一个度量紧统X到另一个度量紧统Y的连续映射的度量空间C(X，Y)的情形.为使空间C(X，Y)的一个闭集A是紧的，其充分必要条件为A中的映射是等度连续的.空间C(X，Y)中两个映射f和g间的距离由下式给出: P(f，g)二supp(f(x)，口(*)).t补注]A几d么定理也称为关于紧度量空间X上的函数的Ascoli一儿瞿1么定理(九。11一凡霍1么山即众级n).C(幻中的函数序列{五}是担对琢的恤lati代lycom乒目)(即集合{天}的闭包是紧的)，只要该序列是一致有界的(也排等摩亨界的(闪‘加四ded))，即s叩，s叩:lfn(x)l<叭以及是(按n)等度连续的，即 lim suP If，(x)一f，(x’)1=0; 。一od、，、(二:二)‘;
　　

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