补充资料：同伦

同伦
homotopy

　　同伦【.功刃恤阿;roMoTou。:]，两个连续映射f，g:x~Y的 把一个映射形变为另一个映射这个直观概念的形式化.更确切地说，两个映射f和g称为同伦的(he-伽toPic)，记为f一g，如果存在一族连续映射f，:X~y，连续依赖于参数t盯0，l]，使得f0=f，无=g(这里选取区间【O，11只是为了技术上的方便;显然也可以选取实轴上的任何其他的区间).这个映射族(称为联结f和g的回诊(加找幻toPy”是所有连续映射X~y所成空间F(X，Y)中的一条道路，把点f和点g联结起来.因此，映射同伦是“由连续道路联结”这个一般概念对映射空间的特殊化，特别是，同伦关系是一个等价关系，其等价类(同伦类)就是F(X，Y)的道路连通区.为了使上述概念得到精确的含义，必须说明‘映射f:连续依赖于t”这个说法的意义.最自然的办法是在F(X，Y)中引进一个拓扑结构(或者至少是伪拓扑结构，亦见拓扑结构( topologi-以struCt切呛)(拓扑(topofogy)).不过，传统上是另一种办法:如果函数关(x)关于变元整体连续，即公式F(x，约=关(x)定义的映射F:Xx[0，11~y连续(这个映射实际上往往称为联结f和g的同伦)，那么，按照定义，就认为五连续依赖于t. 上面所说的同伦关系有时称为自由(6忱)同伦，以区别于“相对”同伦或“约束”同伦.后者的产生是由于考虑连续映射X~Y的一个固定的类红，并且要求对任何te!0，l]有大‘贬.例如，给了子空间A CX就可以考虑A上的相对同伦，其特点是在A上对所有的‘有f，二f。·这时就说映射f二f0羊于A相对同伦于映射g，f:，记为f一grel A. 在X与Y中选取子空间ACX和BCY，并且只考虑满足条件了C粗)。刀的映射f:x~艺一这时就得到另一种“相对”同伦.这样的映射称为把空间偶(x，A)映人空间偶(Y，B)的映射(记为f:(x，A)~(Y，B))，而相应的同伦(即是对所有的t满足关(A)C=B的同伦)则称为空间偶映射同伦(ho-加top如of Pa叮几坦ppin多).除了空间偶外，也可以考虑三空间组(x，A，B)(加条件B C A Cx或不加)、四空间组等等.例如，可以考虑关于第三个子空间的空间偶映射同伦，等等‘也可以考虑本质上不同类型的“相对”同伦. 建立两个已知映射f，g:X~Y的同伦关系(“相对，与否不论)等价于把xxo口x xl(就关于A的相对同伦而言，则是把X又OUA xto，l]日Xxl)映人Y的一个连续映射扩充到Xx【0，11上.在这种意义下，同伦问题是扩充问题的特殊情形.可是，就广泛的一类个别情形(即就所谓的上纤维化(田6bration))表示而言，把子空间A CX上所给的一个连续映射A~Y扩充到X的可能性只依赖于该映射的同伦类.同伦问题与扩充问题之间的这一紧密联系正是这两个问题在所谓回珍诊(加几幻toPytl此。ry)这个总题目下一起讨论的原因.见同伦型(加-咖toPy tyl犯).M .M .n。口斗田Ko。撰【补注】“自由同伦”这一术语的用法在西方稍有不同:常用于带基点的空间(p加nt曰s稗ce)，即二元组，其中X是一个空间，x0是X中的一点.于是，这里的“自由同伦”是任意映射之间的同伦，而通常的同伦则考虑映射了:　　

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