补充资料：喷射

喷射
spray

　　喷射〔即阳y;ny皿.ep犯叫朋]，在微分流形M上的 切空间TM上的向量场W，用TM上与M的局部坐标(x’，…，丫)以自然的方式所伴随的局部坐标(x’，…，扩，vl，二，vn)表示，它的分量是(识，二，沪，.f’，…，f”)，其中尹二f‘(分，…，x”，。’，一，。”)是Cl类函数，并且对于固定的xl，…，扩创门是vl，…，扩的正的2次齐次函数(评的这些性质不依赖于局部坐标的实际选取).这个向量场决定的微分方程组 dx‘ —之创， dt 斋一f，(Xl，一，X·，一，…，。·)， 厄=l，二‘，n等价于2阶微分方程组 dZx，，，，。d无‘dx找、 二认于二f，〔x’，…，x”，气一，…厂号于》; d亡“、一”一’dt”dt/’因此，喷射(以不变的方式，即与坐标系无关的方式)描述了M上的这样一组微分方程. 喷射的最重要情形是厂‘为v’的2次多项式: j’‘二艺r{*(x’，二，x”)v，v女，r鑫，二r;*.(*)在此情形下，r{*在M上给出一个挠率为零的仿射联络(affine con议成ion).反过来，对于每一个仿射联络，测地线方程由某个喷射给出，其中f‘具有形状(*)(从联络过渡到喷射时，r;、关于下指标作对称化).如果向量场评是C，类的，则尹必定有(*)的形状.但是在一般情形下，W在丛TM的零截面的外部可以是光滑的，但是在这个截面附近不是CZ类的场.在这样一种情形下，人们有时谈论广义的喷射，而把“喷射”这一术语只留给特殊情形(*)使用.在Fi.招Ier几何学中测地线的微分方程产生了广义的喷射. 用不变的方式给出喷射的定义是可能的，它也适用于Banach流形(参见「1」).【补注】仿射联络的喷射也称为该联络的测地喷射(罗odesicsP功y).
　　

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