补充资料：流形的拓扑学

流形的拓扑学
topology of manifolds

【补注】最近发现(【All)，维数4的光滑流形的性能根本不同于维数)5的流形.在大量的近期结果中有 i)存在一个光滑的、紧的、单连通的4流形的可数无限族，它们彼此同胚，但具有不同的光滑结构. 五)存在不可数的光滑4流形族，每一个同胚于R礴，但彼此具有不同的光滑结构. 止)存在单连通光滑4流形，它们是h配边(h一cobo川ism)的，但不微分同胚. 对提升问题(3)，见【AZI一tA31， 对于众by一Siebenlnan刀定理(K-irby一Siebe~nntheorem)，箭头TOP~P，也见【A41.流形的拓扑学[恤四姻罗orl翅画如lds;功no月。以皿M“o-rO06p”H“] 研究不同类型流形之间关系的流形(扛团宜陌kl)理论的一个分支. 有限维流形的最重要的类型和它们之间的关系在(l)中由图所表明.这里D湃是微分(光滑)流形的 P P(ANR) H_\，H(ANR) 口TOP二 TRI/牛、LIP(l) 叭Handle， PL‘ t Diff范畴;PL是分片线性(组合)流形的范畴;TRI是多面体的拓扑流形的范畴;Halldle是允许拓扑分解为环柄的拓扑流形的范畴;LIP是LIP sc]恤住流形(带局部图卡之间的LIPsd比tZ转移映射)的范畴;TOp是拓扑流形(Hal巧dod了和具有可数基)的范畴;H是无边(多角体，它的每个顶点的星形状的边界有相应维数的球面的同调)的多面体同调流形的范畴;H(ANR)是广义流形(同调于无边流形的有限维绝对邻域收缩核X，即具有性质:对任何点x〔x，群万’(X，尤\x:Z)同构于群H‘(R”，R”\0;Z))的范畴;P(ANR)是Poin口正空间(有限维绝对邻域收缩核x，对于它，存在数n和元素拜任H。(X)使得当厂)n十l时，Hr(X，z)二o和对所有的。，映射召门二尸(X)~H。_r(X)是一个同构)的范畴;P是Poin口记多面体的范畴(由多面体组成的上述范畴的子范畴) (l)中的箭头，除了三个较低的和箭头H~TOP~P外，表示具有遗忘函子结构的函子.箭头Diff~PL表示关于光滑流形可三角剖分性的认肠tehead的定理.当维数<8时，箭头是可逆的(任何PL流形是可光滑的)，但在维数)8时，存在不可光滑的PL流形，甚至同伦等价于任何光滑流形的PL流形.嵌人PL CTRI在同样强的意义下也是不可逆的(存在同伦等价于任何PL流形的维数)5的多面体流形).这里，对n)5的球面兮，早已存在三角剖分，但在其中，它不是一个PL流形. 箭头PL~Handle表示事实:每个PL流形有环柄分解. 箭头PL~Lip表示了关于在任何PL流形上的LIPschitz结构的存在性定理. 箭头Han山e~TOP当n护4时是可逆的，而当n=4时是不可逆的(任何维数”铸4的拓扑流形允许一个环柄分解和存在四维拓扑流形，对于它，这不是真的). 类似地，如果n笋4，箭头Lip~1飞)P是可逆的(且进一步是唯一的方法). 关于箭头TRI一TOP的可逆性问题给出了关于任何拓扑流形的可三角剖分性的古典的不可解问题. 箭头H~P在强的意义下是不可逆的(存在不同伦等价于任何同调流形的Poin田正多面体). 箭头H~TOP表示了有关任何一个维数)5的同调流形同伦等价于一个拓扑流形的定理. 箭头TOP~P表示了关于任何一个拓扑流形同伦等价于一个多面体的定理. 嵌人TOP C=H(ANR)表示了任何一个拓扑流形是一个AN卫. 对于箭头D湃~PL~TOP~P，类似的问题已经用稳定丛(分别是向量、分片线性、拓扑和球丛)的理论解决了，即通过检查流形X到相应的分类空间BO，BPL，BTOP，BG的映射的同伦类. 存在典型的合成映射 BO~BPL~BTOP~BG，(2)它的同伦纤维和它们的合成的同伦纤维分别用符号PL/O，TOP/O，G/O，TOP/PL，G/PL，G/IUP来表示. 来自范畴D湃，PL，TOP，P的每个流形X，存在一个正规稳定丛，即一个从X到相应的分类空间的典型映射、. 在从流形的“窄”范畴到“较宽”的范畴的变换中，例如，从光滑到分片线性，映射、由相应的映射(2)构成.因此，例如对PL流形X，存在一个光滑流形PL同胚于它(X称为可光滑的)，仅当提升问题(3)可解: _BO 牙沐氛(3) TJ该问题的解的同伦障碍位于群H’十’(X，兀:(PL/O”中这里，结果是(3)的可解性对PL流形X的光滑性(和所有非等价的光滑是在映射x~PL/O的同伦类的集合【X，PL 20〕相对应的一一映射中)不仅是必要的，而且是充分的. 通过用TOP/O代替PL/O，对维数)5的拓扑流形X的可光滑性同样成立，而且(用卫)P/O代替PL/O)也对它们的PL三角剖分成立.同伦群f*一二、(PL/O)同构于通过粘合两个k维球的边界得到的定向微分光滑流形的分类的群.这个群对所有的k是有限的(对k簇6甚至是平凡的).因此，任何一个PL流形X的非等价光滑的数目是有限的且以数 ord艺11介(x，:*(凡/o)) 人为上界. 同伦群二*(TOP/PL)等于零，一个例外:二3(TOP/PL)二Z/2.因此，维数)5的拓扑流形X的PL三角剖分的存在性由一些上同调类△(X)‘H4(X，Z/2)的零化所决定，而X的非等价PL三角剖分的集合是在相应于群H，(x，z/2)的一一映射中. 当k并3时，群7T*(TOp/0)与群r*一致，当k=3时，二*(TOP/O)与f*差一个群Z/2维数)5的拓扑流形X的非等价光滑化数是有限的，且以数ord工*H‘(x，二*(ToP/o))为上界. 类似的结果对Poinalr己多面体是不正确的. 、BPL 分(4、 Xee呻一一一卜BG 下X当然，例如在(4)中提升的存在对同伦等价于Poin-以l-i多面体X的PL流形的存在是必要条件，但一般地讲(对n)5)，只保证PL流形M和度为1的使得:。，一户;夕的映射f:M~X的存在.该流形到一个同伦等价于X的流形的变换需要割补术(sLirgery)(再构造)的技术，最初，当x是一个维数)5的单连通光滑流形的情形，这技术是由C.n.HoB班。发展的.对单连通的X，该技术己推广到下面考虑的情形.因此，对单连通Poinca记多面体X，一个维数妻5的同伦等价于它的PL流形的存在，当且仅当提升(4)存在.同伦等价于一个(甚至单连通)Poin“u泛多面体的拓扑或光滑流形的存在性问题仍是比较复杂的.

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。