四元数

复数可以表示平面向量，在物理上有着广泛应用。于是人们很自然地想到，能不能仿照复数复数集找到“三维复数”，用以表示空间向量呢?爱尔兰的数学家哈密顿首先发现，要想在实数基础上建立三维复数，使它具有实数和复数的各种运算性质，这是不可能的。他进而研究“四维复数”，笪以所谓四元数，并于1857的发表了《四元数讲义》。他逝世后的第二年，即1866年出版了《四元数原理》。

复数仅有两个单位1与i，而四元数有四个单位1, i, j, k，一般的四元数的形式是

a+bi+cj+dk,

这里，i, j, k是空间笛卡儿直角坐标系中三个坐标轴上的单位向量，类似于复数的虚数单位；a, b, c, d是实数，称为四元素的系数。

两个四元数相等被规定为对应系数分别相等。

四元数的加减法，和一般复数的加减法相同，也满足交换律和结合律。四元数的乘法满足结合律但并不满足交换律，这是和实数、复数最显著的不同，也正因为如此，四元数集不能构成数域，人们称它为广域。

四元素的研究，推动了向量代数的发展。美国著名的物理学家麦克斯韦是哈密尔顿的学生。他在掌握了四元数理论后，利用向量分析等工具建立起了著称于世的电磁理论。

19世纪，数学家们证明了：对于实数域上的n维向量空间，当n>2时 ，无法定义乘法运算，使它成为域。这就是为什么只称二维向量的为复数，而不称其他向量为复数的道理。当n>2时，n维向量空间不再称为数域而称为超复数系统。

四元数的运算：

基本的：

p=[1 2 3 4] q=[5 6 7 8]

p+q=[6 8 10 12]

2p=[2 4 6 8]

2个四元数的积：

p=[m,u] q=[n,v] pq=[mn-vu,nu+mv+(v×u)]

m,n是标量，u,v是向量

共轭四元数：

p=[n,v] ~p=[n,-v]

旋转1个四元数( 或向量）：

p'=q(p)(~q)

旋转向量的话：用向量取代p的向量部分，p的标量部分取零。

四元数到旋转矩阵的变换：

| w2+x2-y2-y2 2xy-2wz 2xy+2yn |

| 2xy+2wz w2-x2+y2-y2 2yz-2wx |

| 2xz-2wy 2yz-2wx w2-x2-y2+z2 |

旋转矩阵到四元数的变换：

tr=m11+m22+m33

if(tr>0)

{

temp=1/2squrt(tr+1);

qw=0.25/temp qx=(m23-m32)temp qy=(m31-m13)temp qz=(m12-m21)temp

}else

{

m11,m22,m33中

if(m11 is greatest){

temp=1/2squrt(1+m11-m22+m33)

qw=0.25/temp qx=(m21+m12)temp qy=(m13+m31)temp qz=(m32-m23)temp}

if(m22 is greatest){

temp=1/squrt(1+m22-m11-m33)

qw=(m21+m12temp qx=0.25/temp qy=(m32+m23)temp qz=(m13-m31)temp}

if(m33 is greatest){

temp=1/squrt(1+m33-m11-m22)

qw=(m13+m31)temp qx=(m32+m23)temp qy=0.25/temp qz=(m21-m12)temp}

}

euler angles and quaternions:

q=[cos(angle/2),sing(angle/2)axis]

axis为一向量，是旋转所绕之轴

sa=squrt(1-qw2) angle=2arccos(qw)

axisx=qx/sa axisy=qy/sa axisz=qz/sa