补充资料：Riemann曲面

Riemann曲面
Riemaim surface

类，其全体形成对应于给定解析函数、=f(:)的解析形(analytic】n必罗)Af.在形成解析形的元素(b，S)的等价类中，能按照n~1或n>1，区分为正则的或分歧的·在解析形Af上引入适当的拓扑可使它成为解析函数w二f(习的Ri~曲面Rf.例如，可以如下地引人:对b笋田，定义元素(b，S)的邻域为下列元素构成的集合:(b，S)自身;AJ的所有满足下述条件的正则元(a，尸):}b一川p一’，p<厂(的)，且级数尸(z一a)收敛到级数S(:一l加)的n个确定支之一空间凡满足定义A的全部条件. 这样，每个解析函数w=j(习对应一个Ri~曲面凡，在其上此函数是点p二(b，S)〔Rf的单值解析函数w=F(P).这意味着在每一点p。二(b，S)的一个邻域内，存在局部单值化参数(local un而rrni-刀ngp~ter)。二(:一b)’ln，它可使w表示为单值解析函数w二尸(t)二F(p)换言之，解析函数的Ri~曲面Rf是用以使一般而言为多值的关系w=f(z)实现整体单值化(切苗场伽跳石。n)的一种几何构造.在每个点p。二(b，S)‘凡的一个邻域内，此关系由两个单值解析函数:‘b+亡”和w=S(t)实现单值化.另一方面，使每个元素p。二(b，S)日凡对应到其中心b的投影几(b，S)~b表明，一个解析函数的凡~曲面凡是扩充复平面亡或等价地Ri~球面(Riemann sPhere)上的一个(分歧)被盛曲面(。overmg surface).n>l的分歧元(b，S)的投影是此覆叠的分支点. 同时，每个预先给定的RieIT坦nn曲面双对应无穷多个解析函数w=f(:)，它们恰以R作为其凡e-~曲面:凡二R.对于闭Ri~曲面情形，这一论断已为凡即益功叮于1851年表述并证明.相应的证明的中心是在R上构造具有给定奇点的调和函数.Rielr.nn给出的证明基于不加鉴别地应用所谓肠r让hl以原理(Dirichletp~iPle);Kocbe最早(1侧刃)给出一个严格的证明;嗣后出现了这个基本论断的一些比较简单的证明，其中有基于恰当应用Dir记比t原理的证明(例如见〔31，(4]，〔17}，[18)). 对任何可定向拓扑曲面S，总能构造一个同胚于S的凡。力出功曲面，即与S具有同一拓扑类型的凡e-n劝nn曲面R.闭Rien扭nn曲面由一个数—其亏格g(0簇g<十的)(见曲面的亏格(罗nusofasur-face))拓扑地完全确定.这样的Rie宜么nn曲面的拓扑型对g“O是球面，对g二1是环面，对g>1是广义环面或带有g个环柄的球面.对于g=O的凡e-刀篮mn曲面R，通过沿某条弧进行截割，可得到一个二边形，它以符号s=“a一’为其拓扑模型或正规形式(nor比以1 form)，这表明边a与a一’上的点是等同的;当g)1时，必须作29条典型截线(cano血alsections)a，，b、，二，a，，b。，由此得到闭Riernann曲面R的标准形式—具有49条成对等同的边的多边形;符号5=a，…应指明这些边出现的顺序.例如，图1给出对于g=0的球面与，=l的环面的标准形式并给出其符号. ~口厂， ，亩，，司价，连.b. 口11口，.矛二u夕 ，招尸Ul 卜。，;·，一，;二，，;·内。Ja厂b尸 图I 从解析观点看，一个闭Rien飞ann曲面R为下述事实所刻画:它是由一个。次代数方程(l)定义的代数函数、=f(习的凡~曲面.这个Ri~曲面可想像为展布在凡自比以nn球面上的。个叶，它们以某种方式在分支点处并沿某些连接这些分支点的线互相联结起来(联结方式由方程(l)的特殊形式决定)在此情形下，Rierr以nn曲面的亏格g可通过下述Rial.nn一E恤r喇tz公式(凡en笼mn一Hurwitz fonnula)表示为叶数小和分支点阶数k，，…，k。

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