1) numerical method for Boltzmann equations
玻耳兹曼方程数值解法
2) Boltzmann equation
玻耳兹曼方程
1.
Study of the particles transportin living cells because of the molecular motor by Boltzmann equation;
用玻耳兹曼方程研究基于分子马达的细胞内物质转运
2.
The interaction of phonons and the thermoequilibrium of a crystal are analyzed with Boltzmann equation and Landau equation.
用玻耳兹曼方程和郎道方程 ,分析声子之间的相互作用与晶格热平衡 ,得到晶格热平衡是声子之间的相互作用的结果、得到弛豫时间与声子之间相互作用强度的平方成反比 ,对简谐近似下晶格不可能达到热平衡进行了分
3.
Based on the Boltzmann equation and the stochastic theory of fluctuations, such apphcabihty of local equilibrium assumption to reaction-diffusion processes is studied.
本文从玻耳兹曼方程和涨落的随机理论出发重新研究了局域平衡假设对反应—扩散过程的适用性。
3) boltzmann transport equation
玻耳兹曼输运方程
5) linearized Boltzmann equation
线性化玻耳兹曼方程
6) Maxwell-Boltzmann equation
麦克斯韦-玻耳兹曼方程
补充资料：玻耳兹曼方程数值解法
玻耳兹曼方程是原子物理、天体物理等领域中的描写粒子(中子、质子、光子等)运动的基本微分－积分方程。假定粒子在两次碰撞之间作等速直线运动，而在穿过介质的过程中按照一定的概率与其他粒子相碰撞，从而发生偏斜、慢化、被吸收或增殖等现象。由于粒子是大量的，因此可以忽略统计起伏，把它们看成是连续体。求解玻耳兹曼方程，就是要求出在任一时刻，具有不同速度的粒子在空间的分布。玻耳兹曼方程数值解法很多，其中以解描述中子输运问题的玻耳兹曼方程的数值方法较为典型。
描述非定常中子输运过程的玻耳兹曼方程为： , (1)式中t为时间；r、v分别为中子的位置和速度向量，v＝vΩ,Ω为中子速度方向的单位向量；φ(r,v,t)为中子角通量分布；σ(v,r)表示在点r处速度为v的中子的宏观总截面，σ┡=σ(v┡,r);??(v┡→v;r)dv是在r处中子速度由v┡转移到v与v+dv之间的总概率；是独立中子源。对于单速各向同性散射一维球对称问题，非定常中子输运方程为 式中r为径向坐标;μ＝cosθ,θ为向径和速度向量间的夹角；σ(r)为总截面；β(r)=σ(r)с(r)，с(r)为在r处每次碰撞所产生的平均次级中子数。方程(2)的定解条件为 。
20世纪40年代发展了用于解定常问题的两类主要解法。
①球谐函数法 它把φ和按勒让德多项式PN(μ)(球谐函数）展开，例如，令利用勒让德多项式的性质，把方程简化，再取展式的前N+1项,得φ0,φ1,...,φN的N+1个方程的联立方程组,然后用差分法求数值解。该法又称为PN近似法。
②威克－昌德拉塞卡离散纵标法 简称WC法。它(主要针对平板几何问题)是取μ的一组固定值，μ0,μ1,...,μN，对φ(r,μi,t)(i=1,2,...,N)写出方程组。右端积分用数值积分逼近，例如取μi为勒让德多项式零点的高斯求积公式，然后用差分法求解。对于各向同性散射的平板问题，WC法和球谐函数法是等价的。
1953年 B.G.卡尔森提出了解中子输运方程(2)的SN方法,该法取－1=μ0<μ1<...<μN=1（其中）,把[-1,1]分成N个区间,在每个区间[μj-1,μj]上假定φ是μ的线性函数,同样取R,假定在每个区间 [ri-1，ri]上 φ 也是 r 的线性函数。将(2)在区域{ri-1≤r≤ri,μj-1≤μ≤μj}上对r和μ积分，然后对时间作隐式向后差分得到差分格式，并适当选取插值公式，使差分方程的解满足粒子数守恒的性质。
卡尔森等人在50年代末进一步提出离散SN法，又称 离散纵标法(简记DSN法)。这种方法可以比较容易地推广到多维情况。它是从守恒方程
出发的，离散分点取为 ，-1<μ1<μ2<...<μN<1，其中μ1，μ2，...，μN取为勒让德多项式零点,取N为偶数，右端积分用高斯积分公式近似。在点上建立差分，为此在高斯积分系数ωj对应的子区间上对μ 近似积分，在(ri-1,ri)上对r作体积分，对t用中心差分，则得式中是以 ri-1和ri为内外半径的球壳的体积，Ai是半径为ri的球面面积。,按递推公式
求出。此外，还要补充关系
和边界(μ=-1)方程
定解条件离散化为
。
若取φn为迭代初值，把S中的φ用前次迭代值代入，则利用边界条件，(4)、(5)可显式递推求解，计算步骤按μ从小到大的顺序进行。当μ<0时,利用外边界条件对r从大到小进行计算，当μ>0时，则利用中心对称条件,对r从小到大进行计算。
SN方法和 DSN方法是求解玻耳兹曼方程的有效的数值方法，其主要缺点是计算中可能出现负通量，为了避免出现负通量有各种修正格式。
对于定常的玻耳兹曼方程，70年代出现了多种有限元算法。有通过引进角通量偶次分量，把方程化为自伴形式，再构造泛函求极小的有限元算法；也有直接用加廖金法（包括连续的和不连续的方法）和配置法等的有限元算法。
此外,还有许多其他的数值方法,例如特征线法、分裂法和几种方法相结合的混合解法，以及求解积分型输运方程的各种数值方法。而基本概率理论的蒙特卡罗法在输运计算中也占有重要的地位。
参考书目
R.D.Richtmyer and K.W.Morton,Difference Method for Initialvalue Problems, 2nd ed.，Interscience, New York,1967.
描述非定常中子输运过程的玻耳兹曼方程为： , (1)式中t为时间；r、v分别为中子的位置和速度向量，v＝vΩ,Ω为中子速度方向的单位向量；φ(r,v,t)为中子角通量分布；σ(v,r)表示在点r处速度为v的中子的宏观总截面，σ┡=σ(v┡,r);??(v┡→v;r)dv是在r处中子速度由v┡转移到v与v+dv之间的总概率；是独立中子源。对于单速各向同性散射一维球对称问题，非定常中子输运方程为 式中r为径向坐标;μ＝cosθ,θ为向径和速度向量间的夹角；σ(r)为总截面；β(r)=σ(r)с(r)，с(r)为在r处每次碰撞所产生的平均次级中子数。方程(2)的定解条件为 。
20世纪40年代发展了用于解定常问题的两类主要解法。
①球谐函数法 它把φ和按勒让德多项式PN(μ)(球谐函数）展开，例如，令利用勒让德多项式的性质，把方程简化，再取展式的前N+1项,得φ0,φ1,...,φN的N+1个方程的联立方程组,然后用差分法求数值解。该法又称为PN近似法。
②威克－昌德拉塞卡离散纵标法 简称WC法。它(主要针对平板几何问题)是取μ的一组固定值，μ0,μ1,...,μN，对φ(r,μi,t)(i=1,2,...,N)写出方程组。右端积分用数值积分逼近，例如取μi为勒让德多项式零点的高斯求积公式，然后用差分法求解。对于各向同性散射的平板问题，WC法和球谐函数法是等价的。
1953年 B.G.卡尔森提出了解中子输运方程(2)的SN方法,该法取－1=μ0<μ1<...<μN=1（其中）,把[-1,1]分成N个区间,在每个区间[μj-1,μj]上假定φ是μ的线性函数,同样取R,假定在每个区间 [ri-1，ri]上 φ 也是 r 的线性函数。将(2)在区域{ri-1≤r≤ri,μj-1≤μ≤μj}上对r和μ积分，然后对时间作隐式向后差分得到差分格式，并适当选取插值公式，使差分方程的解满足粒子数守恒的性质。
卡尔森等人在50年代末进一步提出离散SN法，又称 离散纵标法(简记DSN法)。这种方法可以比较容易地推广到多维情况。它是从守恒方程
出发的，离散分点取为 ，-1<μ1<μ2<...<μN<1，其中μ1，μ2，...，μN取为勒让德多项式零点,取N为偶数，右端积分用高斯积分公式近似。在点上建立差分，为此在高斯积分系数ωj对应的子区间上对μ 近似积分，在(ri-1,ri)上对r作体积分，对t用中心差分，则得式中是以 ri-1和ri为内外半径的球壳的体积，Ai是半径为ri的球面面积。,按递推公式
求出。此外，还要补充关系
和边界(μ=-1)方程
定解条件离散化为
。
若取φn为迭代初值，把S中的φ用前次迭代值代入，则利用边界条件，(4)、(5)可显式递推求解，计算步骤按μ从小到大的顺序进行。当μ<0时,利用外边界条件对r从大到小进行计算，当μ>0时，则利用中心对称条件,对r从小到大进行计算。
SN方法和 DSN方法是求解玻耳兹曼方程的有效的数值方法，其主要缺点是计算中可能出现负通量，为了避免出现负通量有各种修正格式。
对于定常的玻耳兹曼方程，70年代出现了多种有限元算法。有通过引进角通量偶次分量，把方程化为自伴形式，再构造泛函求极小的有限元算法；也有直接用加廖金法（包括连续的和不连续的方法）和配置法等的有限元算法。
此外,还有许多其他的数值方法,例如特征线法、分裂法和几种方法相结合的混合解法，以及求解积分型输运方程的各种数值方法。而基本概率理论的蒙特卡罗法在输运计算中也占有重要的地位。
参考书目
R.D.Richtmyer and K.W.Morton,Difference Method for Initialvalue Problems, 2nd ed.，Interscience, New York,1967.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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