补充资料：扩张和限制方法

扩张和限制方法
method of extensions and restrictions

　　扩张和限制方法汇n喊加川ofe刘玫巨.后田日璐亩团此;nPp口0月翎皿兹“oxaaToo MeTo月j 研究光滑流形及其子流形上各式各样微分一几何结构(d迁比Iential一罗。汀℃tric stn玲ture)的一种方法.这种方法的核心内容是对下述运算的一种微分代数法则，这种运算以一种不变的(即与坐标无关的)方式对给定的结构赋于一个与之有内在关系的结构，比如，其微分不变经(dlffe卿It闭山v面ant).历史上，它起源于活动标架法(~1飞一加此力℃山团)，而后者是以与坐标无关的方式研究齐次空间或带有联络的空间的子流形的一种方法.后来，扩张与限制方法也被用来研究任意纤维空间(nbre sPace)的几何.活动标架法是用对应主纤维空间的一系列限制来构造典则标架场及未知结构的微分不变量.扩张与限制方法的目的则与之截然不同，它的目的是构造不变量以及与坐标无关的结构而不必限制标架丛的主纤维.这种方法的一个特例是标架的典则化过程. 设G是块群(Liegro叩)，K(G)为允许G左作用的G空间的类.G限制(G一restrietion)是一个光滑的满映射 工X~Y，X，Y〔K(G)使得对任何g‘G，下面的图表交换: x一卫二卜Y ’。{一{‘;这里l，和弓是g在G空间X和y上决定的变换.此时说Y是X在映射f下的限制(化s苗c石on)或X是Y的扩张(extension).以G限制为态射，则类K(G)成为一个范畴. G限制的例子. 1)设T(P，叮)‘K(GL(n，R))是(尹，叮)型张量的空间，p，q)1.收缩映射 T(P，q)~T(P一1，q一1)是限制，而T(P，川的张量的完全收缩T(尹，v):T(尸，尹)~R则是限制不变量的例子. 2)若X，Y任K(G)，则X xy经pr;和pr:分别限制到X和Y换句话说，X xy是X和Y二者的扩张. 限制的概念可自然地推广到与主丛相伴的纤维空间.设二:尸(M，H)~M为一个主丛，其结构群H右作用在尸上，又设F任K(H)为左H空间，利用尸可构造如下形式的纤维空间 F(P)=(P xF)/H，其中H按下法作用在尸xF上: (亡，Y)h二(古h，h一’Y)，(否，Y)ep xF，heH.这种空间的全体记为K(尸).空间F(尸)任K(尸)是底空间M上纤维为F的纤维丛.(心，Y)‘P xF所决定的元素y‘F(尸)写作y=心Y.若F，巾任K(H)，且f:F~小为H限制映射，则由F(P)与中(尸)的构造知，f诱导出映射关F(p)~。

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