补充资料：旋转曲面

旋转曲面
rotation surface

旋转曲面[rota腼田rfaee;即a川eR一，nooepxRoeT‘] 平面曲线L绕所在平面上一根轴旋转生成的曲面.如果L由方程y=p(u)，z=:(“)定义，那么旋转曲面的位置向量是r={p(u)e二v，p(u)sinv，:(u)}，这里。是曲线L的参数，p是曲面上点到旋转轴z的距离，v是旋转角.旋转曲面的线素是 比s’=(p‘’+z”)‘。’+户’凉v‘.Gauss曲率(Gauss助eurvat眠)是K二一艺’M/户N‘，平均曲率(mean curvature)是万=(z’NZ-夕M)/2户N’，这里材=z‘夕’‘一z’户“，N二丫万丫石，·曲线u二常数称为旋转曲面的平行线(paralles)，它们是位于与旋转轴垂直的平面上的圆，曲线”=常数称为子午线(Ineridians)，它们合同于该旋转曲线并位于过旋转轴的平面上.旋转曲面的子午线和平行线是它的曲率线并构成等温网(isotbernlal net). 旋转曲面容有到另一旋转曲面的形变(defon们a-tion).在此形变下，它的曲率线网保持不变，因而是形变的主基.旋转曲面的脐点(uml〕iljcal POinl)的特征是该点处子午线的曲率中心位于旋转轴上.平行线的半径与旋转曲面的测地线和平行线的交角的余弦的乘积沿测地线为常数(Clairaut定理(Clairaut theol℃nl)). 仅有的极小旋转曲面是悬链面(catenoid).直纹旋转曲面是单叶双曲面(。ne一sheet】lyl姆rboloid)或它的退化情形之一:柱面、锥面或平面.具一根以上旋转轴的旋转曲面是球面或平面. 旋转曲面的度量可以表达成以下形式: ds’=人’(r)(dx’+d夕“)，rZ“x’+夕2，(l)形如(1)的度量的存在性和这些度量作为旋转曲面到R”中的等距浸入参见【1].【译注]一般地，旋转曲面定义为空间一条曲线r绕一根固定直线旋转所生成的曲面(〔B 11).例如，取固定直线(旋转轴)为:轴，设空间曲线r的参数方程为 x二f(t)，夕=夕(t)，:二h(t)，(a城r簇b)那么，r绕z轴旋转所生成的旋转曲面方程可表达为 {二一丫fZ(。)+。’(‘)cos“， }一/“(t(b、 气y=订f‘(t)+a‘ft)sm口，!。，。/，! }JvJ、“，’，、“，一‘u’气O簇0簇7TI 七z一h(‘)·

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