补充资料：平均化

平均化
averaging

　　【补注】【AI]中给出了关于平均化方法最近的现代处理.平均化!ave鸭ing;，℃碑口皿~l 计算函数平均值的运算，这些函数是微分方程的构造的一部分，此方程描述周期的、概周期的而总的说来描述振动过程.平均化运算可看成一种类型的光滑化算户.平均化方法首先被用于天体力学中行星绕日运动的研究中.后来义扩展到很广泛的领域中:非线性振动理沦、物理学、自动控制理沦、天文动力学等等.平均化方法常给出原方程的近似解.适用平均化方法的最典型的微分_方程类型如下. 1) H HB丫。月K，6oB意义下的标准方程组: dx。__、门、 竿二拜X(x、l，林)，欠‘) dl这里x，X是向量，r是时间，尸是正的小参数. 2)多频率自治2:周期系统. 、才兀 一沂一二拜X(戈八 半一。卜。y、、，少，)，‘、夕，万，乍’均是向量，且X吸工，y一干(2二))三三三X(义_厂)，Y(x夕+(2叮))三Y扛，少工。(x)是频率向遣3)多频率非:自治系统: dx、、 等二衅(*，少，‘)，} dt”’} 李(3) 学一“仕·扒‘，十“丫‘x，叭‘’·! 平均化方法用“更简单”的一级近似方程组来代替方程组(1)一(3): dx、__、.，，、 牛李二拜装l(x);(l) d了 dx、一、飞 竺拼二胖X(x卜} 山”、{(娇 d、、{ 钊‘二州、)，{ 价一’! dx。，___、、，、{ 牛上二拜X:(x‘。._卜)·t)，} d:“一}(3今 立二、、、;丫} 山二’这里 、(x)二鱼im专厂x(x:、o)、:，(4、 ·、、一f砚T子 X;(x)二(5) 二，己叮 二一生一f…r川x.、，.、、。)办、…山。· (2，广毛毛 xZ‘x、丸，从‘)二(6) ·醚‘“绮了一‘乱一，‘ 公式拼)一(6)就是最常用的平均化方法. 公式(6)表示“沿生成解”作平均化的格式先在函数X(二，。、，r)中，用方程组 坐0. dt 李一“戈井‘、 dl一二，，的生成解来代替y，然后再作积分平均(6) 把方程组(l)一(3)改变了以后产生的主要问题是:在尽可能大的时间区间(数量级为l了川内对范数 }lx(‘，拌)一x(‘，拜)11，}t少(t.拜)一y(‘.林)}}作。估计，这里 x(0，拌)=x(0，”)，少(0，产)一二y(0，拌)·这就是平均化方法的问题的实质.对于方程组(1)，平均化方法的这一问题是Borozn。民〕B提出的，他的结果成了常微分方程的现代算法理论的基础.
　　

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