补充资料：半序线性空间

    　　一类赋有序关系的线性空间，称为有序线性空间。
　　
　　如果只考察实值函数，则重要的空间如C（Ω），L^p(Ω)(1≤p<∞),除了有线性结构、拓扑结构以外，还有个按照自然的序:
　　
　　??≥0,若??(t)≥0对一切（几乎所有）t∈Ω都成立，构成的序结构。某些空间中的这种序或"正性"，在理论和应用上都是很重要的。
　　
　　半序空间与向量格 　如果实线性空间E的某些元素偶（x，y）之间有关系x≥y，并存在①序关系；x≥x，又 x≥y 且 ，x≥y 且 ；②,x≥y,；则称E为半序线性空间。若进而还有③格关系:对x、y∈E恒有z∈E,使x≤z且y≤z，又x≤u，。就称E为向量格或里斯空间，且记③中之z为x∨y。
　　
　　一般对具有性质①的集合，称为按关系≥是半序的，而上述性质②则意在线性结构与序结构的协调。
　　
　　向量格实例 ①设C_R(Ω)是紧豪斯多夫空间Ω上全体实值连续函数，其上的加法与数乘如通常定义。对 x、y∈C(Ω)定义,当t∈Ω。这时(x∨y)（t）=max{x（t），y（t）},易见 C_R(Ω)是向量格。②设（x,B）是可测空间。设V是全体在(x,B)上有限的,完全可加的集合函数。对μ₁,μ₂∈V 及实数α定义,E∈B;,E∈B,α是实的;,E∈B。这时，
　　
　　
　　当E∈B。可以证明,V是向量格。③对希尔伯特空间H上有界线性算子A与B,如果对任何有界的T使AT=TA皆有BT=TB，则称B堻堻A。设 A是H上给定的有界自伴算子,令R_A={H；BA},定义，当x∈H,则对有。这里而且C≥0，可以证明R_A是向量格。
　　
　　向量格的性质 　在向量格中定义 ，x_＝(-x)∨0,|x|=x∨(-x)依次称为x的正部分、负部分、绝对值。在向量格中,每个元x都有若尔当分解。这是有界变差函数以及抽象测度论中的结果的推广。
　　
　　对向量格E中的一族元素,若有x∈E，使得x≥x_α对一切α∈A成立,又任何y≥y_α对一切，则称x为之上确界，记作。同样,可定义下确界在一般的向量格中，上方有界的点列未必有上确界。如果对Χ之任何上方有界点列，必有上确界，则称Χ 为σ-完备的。前述之向量格V与R_A都是σ-完备的。
　　
　　对E中的点列，若有单调递减的点列w_n使得，而，则称x_n序收敛于x₀，记作。
　　
　　设Χ为实的巴拿赫空间。如果Χ还是一个向量格，而且
　　，则称Χ为巴拿赫格。这是线性关系,格序关系以及范数的结合。
　　
　　利用格序关系与序收敛，对σ-完备的向量格 Χ可定义绝对连续元素与奇异元素,从而将拉东-尼科迪姆定理推广成:Χ的每个元都可惟一地表示成绝对连续元与奇异元的和。又对某些σ-完备向量格中之元α,可惟一地确定一个单位分解{e_λ;-∞<λ<∞}，使，从而将自伴算子谱分解定理推广到适当的 σ- 完备向量格上。设Χ为巴拿赫格,如果还有x≥0,，则称Χ为抽象L¹空间。可以证明有测度空间Ω使得这种Χ线性的，保范序同构于L(Ω),同样也可用格序关系与范数刻画L^p(Ω)与C(K),这里K是紧空间。
　　
　　

参考书目
　　　关肇直编：《泛函分析讲义》，高等教育出版社，北京，1958。
　　　A.C.Zaanen and W.A.J.Luxemburg,Riesz Spaces,North-Holland, Amsterdam,1971.
　　

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