补充资料：群的上同调

群的上同调
cohomology of groups

群的上同调[e曲omolo留‘g阴ps;K.~o以“rp，n] 历史上代数的上同调(cohomology of al罗bras)的最早的理论. 每个对(G，A)(其中G是群，A是一个左G模(即整群环ZG上的模))，对应于一个Abel群H”(G，A)的序列，它们称为G的系数在A中的牛回谬琴(cohomolo留grou详)).数。取遍非负整数，称为H.(G，A)的维攀(dimension).群的上同调群是重要的不变量，它既含有G的信息又含模A的信息. 按定义，H。(G，A)是Hon1G(Z，A)一A‘1 AG是A中G不变元素的子模.当。>1时群H叹G，A)定义成函子一41一H“(G，A)的凡次导出函子(dl汗ivedfunCtor)的值，令 」。城: ·、P。一，P，!一、…、尸。一、Z一，C是平凡G模Z在G模范畴中的某个投影分解(即lu-加n)，即它是一个正合列，其中每个P，是投影ZG模，则尸(G，A、是复形(①mplex) J 0一、Ho瓜fP.月、、Hom、(P!A)一、一的第。个L同调群，即H气G，A》=Kerd。/lmd。一、其中《是由d。诱导而得， 群的同调群(homo10g)grou娜of grouP)用对偶构造定义，其中每一处Hom、、皆用⑧(;来代替. 函一子AI一H”(G.才)(n二O，1，一)的集合是左G模范畴中的上同调函子，见同调函子(homologyfunctor);上同调函子(cohomology functor). 作模B=H叨1(z【G】.X)，其中X是Abel群，且“按下列公式作用于B上， (卯)(t)二叫tg)价任B，rozG，这样形式的模B称为上诱导的(co一indu①d).若魂是内射模或上诱导模，则H叹G，A)=0对”)1成立.每个模A皆同构于上诱导模B的一个子模.于是序列 O、A*B、B/A、O的正合同调序列确定了同构IP(G，B/A)”H”+‘(G，A)(n)l)及正合列 刀“、(刀/月)G、H’(G，A)*0.因此A的n十1维上同调群的计算化为计算B/A的n维上同调群.这个计划称为维数位移(dimensionshifting). 由维数位移，能给出上同调群的一个公理定义，即它们能定义成从G模范畴到Abel群范畴的函子序列AI~H叹G，A)，它形成上同调函子，且对每个上诱导模B满足尸(G，B)=0，n)1. 对于适当定义的等价关系，群H”(G，A)也能定义成形如 0峥A*MI*…*从*Z*0的G模正合序列的等价类(见〔11，ChaPt，3，4). 为了计算上同调群，一般地要用到平凡G模的标准分解式，在其中只=z[G“’]及对于(g0，…，g。)任G月+，，令 以g0，一幻一勤一‘)‘嘛一余一gJ，其中g，上的符号’表示民被删去.Hom。(只，A)的上链是函数f(g。，…，夕，)，对于它，gf(g。，‘’‘，夕。

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