补充资料：分歧

分歧
bifurcation

　　分歧lbi加川拓.俪中”Ka四.，l 某些数学分支应用于下列情形时所用的一个术语，在这些情形中某个对象少=少(劝依赖于一个(不一定是纯量的)参数入，并使得在该参数的某个值“。(分歧值(bifurcation value)或分歧点(bifur以tion POint))的任何邻域内所考虑的对象，(劝的定性性质并非对所有的又都是一样的.相应的严格的定义随不同的情形而不同，但主要遵从(以一种多多少少修正过的形式)下面两条稍有不同的原则. A)所研究的对象少的定性性质是以某种方式与少有联系的其他对象沙的存在性.分歧是由以下事实来表征的，即当又变化时，对象夕出现或消失(特别是这些对象可以重合，或者某个对象又可以生成(generate)儿个对象)，见下面第一节. B)第一步是决定在什么情况下认为两个对象少(劝是等价的(这个定义必须使所有人们感兴趣的定性性质对等价对象来说是同一的).在分歧点邻域的少(A)的定性性质的改变，按定义，意味着在该分歧点附近可求得使少切不等价的又值.见下面第二节. l)在算子理论中原先的对象少(劝是实Banach空间中定义在点、二O的一个邻域中的依赖于一个实参数又的一个非线性算子小。，劝，并使得中(O，对二o对每个固定的又、对这个小来说有一些新的对象卢与之相联系;它们是非线性算子方程巾(x，又，二，的解*分歧点就是这样一个点.在该点，产生这个方程的个新的非平凡解.事实上，分歧点是一点又，，使得对任意。>0.存在义，{又一又。<:、方程小(x，劝二义有一个满足条件0<{{x(对}<。的解x(劝.如果中怀，功二又Ax，其中A是一个线性全连续算子(comPlete一。〕ntl-nuous operator)，则分歧点的概念与A的特征值的概念一致. 如果中(x，又)是一个非线性全连续算子，它是连续Fr己chet可微的，并使电(0，劝兰又A，则只有A的特征值才可能是中的分歧点.由拓扑方法([11，!2])可发现A的每个奇数重(特别地，单重)特征值是巾的一个分歧点.利用向量场旋转的概念可对偶数重特征值的情形阐述类似的充分条件. 如果x=0是方程x=中(x，又。)的一个非孤立解，则又。是小的一个分歧点.用变分法(〔11，【2」、可证明，如果。(x)是托lbert空间中一个非线性全连续算子，它是-个弱连续泛函的梯度，而且注=创(O)是一个全连续自共扼算子，则A的所有特征值都是中的分歧点‘在大解情况下，即当又一又。时，x(刀一关·分歧点的概念要作修正.这些概念和结果的重要性在于以下事实，在服从相对弱的限制下，可以建立解%=O的分支;特别是，有可能证明非线性问题的解不是唯一的.非线性方程解的分支(branch一ng of solutions)理论的解析方法常能给出更精确的信息. 2)光滑动力系统理论研究单参数(有时也研究双参数(【61”流族(以及串联流族;这里只考虑单参数流族的情形)，以及使分歧为“典型的”的那种条件，亦即在问题中族的小的改变下仍保持自己的特征的条件“9」).前述两个原则A)和B)都是有用的.就原则B)而言，认为两个流是等价的，如果存在相空间的同胚把一个流中的轨道转换成另一个流中的轨道，且保持运动的方向.对具有二维相空间的单参数流族的分歧已有一个完全满意的理论(【7]，【9〕)，也存在。维情形时在一个平衡位置或一个周期解的邻域中的稍有不同的局部理论(【6」)， 在原则A)的情形，所研究的与给定的动力系统相联系的对象扩是平衡点或周期解，有时是某些不变流形(主要是环面)或双曲不变集.对这样一些对象的“产生“—无论是“局部地”源于平衡点或周期解附班的“产生”，还是“半局部地”源于当t~土的时趋于平蒯立置，或周期解的一些轨道所构成的“闭围线”的邻域的“产生”—都研究过了.还有一种分歧也是可能的，它在某种意义下与类似的围线是有联系的，但这时(随着重擞几的变化)围线产生以前分歧已出现了(18}).通过以积分方程的形式重写微分方程及周期性条件，并应用适当的方法(【5』)常可方便地研究周期解的发展. 3)不同对象的各种分歧(原先对象的以及与之相联系的对象的分歧)在映射的奇点理论中都会碰到.结果是，分歧这一术语(毋宁说是由此导出的术语)以几种不同的方式应用着(见【10]，【6]，【川)，但对相应的概念斌予独立的名称更为普遍.这些名称中，例如有通用族(versai families)(或变形)(见[6]，[11]，[12])，它描述了在某种意义下在所考虑的对象的小的变形下可能发生的所有的分歧.特别是，七种初等突变(e lementarycatastroPhes)(【121)，它们是由“典型的”k参数(k(4)族函数表示的，这些函数中含有具有一个退化临界点的函数，这些函数都定义在该点的邻域中;因此它们描述了相应的分歧.在关于奇点理论的非苏联文献中，“突变”这个术语常用来表示分歧.【补注】分歧理论的一本标准参考书是【AI].分歧问题中对称的出现常常是一种有力的工具(!A2』).关于方程解的分歧的情形的更确切的细节，见解的分支(bran比ing of sofutions).
　　

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