补充资料：数的几何

    　　又称几何数论，应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支。它的一类典型问题为：设 ??(x₁,x₂,...,x_n)是实变量x₁,x₂, ..., x_n的实值函数，对于适当选取的整数u₁,u₂,...u_n，｜??(u₁,u₂,...u_n)｜的值能有多小？例如,设是一个正定二次型，用数的几何方法可以证明，存在不全为零的整数u₁,u₂，使得，这是最佳结果，其中是型的判别式。
　　
　　17～18世纪间,J.-L.拉格朗日和C.F.高斯等就已开始以几何观点研究二次型的算术性质。1891年，H.闵科夫斯基发表了数的几何第一篇论文，并于1896年出版了《数的几何学》一书。从此，数的几何成为数论的一个独立分支。
　　
　　数的几何是研究丢番图逼近、代数数论的重要工具。
　　
　　用Rⁿ表示n维实欧几里得空间，如果的所有坐标都是整数，那么尣称为一个(n维)整点或格点。全体n维整点的集合记作Λ₀。设点集嶅Rⁿ，λ是一个实数，把所有形如(尣∈)的点组成的集记为。如果=-，亦即若尣∈，则-尣∈，那么称为关于原点对称，或简称为对称。如果当含有尣、у时必含有连接尣、у的线段,亦即含有一切形如(1-θ)尣+θу(0≤θ≤1)的点，则称为凸集。关于原点对称的凸集，称为对称凸集。
　　
　　一个重要的对称凸集，是由以下的一组实线性型定义的：
　　式中с₁,с₂,...,с_n是正实数,det(α_ij)≠0。这是一个有界集,其体积是。如果(*)中全是"≤"，那么它就定义了一个闭集。
　　
　　闵科夫斯基研究了对称凸集的基本性质，获得数的几何第一基本定理：如果嶅Rⁿ是体积为V()（可能为无穷）的对称凸集，且V()≥2ⁿ, 那么在中或其边界上必有一个非零整点。
　　
　　这个定理应用于集(A),得到著名的闵科夫斯基线性型定理：如果正实数с₁，с₂，...，с_n适合с₁с₂ ... с_n≥｜det(α_ij)｜,那么存在不同时为零的整数x₁,x₂,...,x_n,满足不等式组。
　　
　　由此定理可以导出丢番图逼近的一系列结果。例如，对于n个实数α₁，α₂，...,α_n，若其中至少有一个无理数，则有无穷多组(p₁/q,p₂/q，...,p_n/q)适合。此外，上述定理还可用于解决代数数域的基数问题。
　　
　　有时，需要考虑中含有多少个线性无关的整点。设是闭的对称凸集,0()<∞。对于尣∈Rⁿ,定义距离函数，若右式不存在，则令F(尣)=∞。于是0≤F(尣)≤∞,F(λ尣)=λF(尣)(当λ>0),并且={尣｜F(尣)≤λ}(λ≥0)。对于集(A)（其中全取"≤"），。
　　
　　由F(尣)的性质可知，对每个i(1≤i≤n，存在最小的λ=λ_j，使含有i个线性无关的整点。λ_j称为的第i个相继极小，亦即，于是存在整点m₁,m₂,...,m_n适合
　　　 ，
　　　 线性无关｝(i≥2)。
　　
　　例如,对于超立方体｜x_j｜≤1(1≤i≤n),λ_j=1(i=1,2,...,n),m_j可取作单位矢(0,...，0，1，0，...，0)。
　　
　　显然，，由闵科夫斯基关于数的几何第一基本定理可知，。
　　
　　闵科夫斯基进而得到数的几何第二基本定理：设是闭的对称凸集，0()<∞,则其相继极小λ₁,λ₂,...,λ_n适合不等式
　　
　　 。
　　
　　这个定理在数论中有不少有趣而重要的应用，例如，W.M.施密特用它为主要工具解决了实代数数联立有理逼近问题。
　　
　　

参考书目
　　　J.W.S.Cassels,An Introduction to the Geometry of Number,Springer-Verlag,Berlin,1959.
　　

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