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补充资料:半序线性空间
      一类赋有序关系的线性空间,称为有序线性空间。
  
  如果只考察实值函数,则重要的空间如C(Ω),Lp(Ω)(1≤p<∞),除了有线性结构、拓扑结构以外,还有个按照自然的序:
  
  ??≥0,若??(t)≥0对一切(几乎所有)t∈Ω都成立,构成的序结构。某些空间中的这种序或"正性",在理论和应用上都是很重要的。
  
  半序空间与向量格  如果实线性空间E的某些元素偶(x,y)之间有关系x≥y,并存在①序关系;x≥x,又 x≥y 且 ,x≥y 且 ;②,x≥y,;则称E为半序线性空间。若进而还有③格关系:对x、y∈E恒有z∈E,使x≤z且y≤z,又x≤u,。就称E为向量格或里斯空间,且记③中之z为x∨y。
  
  一般对具有性质①的集合,称为按关系≥是半序的,而上述性质②则意在线性结构与序结构的协调。
  
  向量格实例 ①设CR(Ω)是紧豪斯多夫空间Ω上全体实值连续函数,其上的加法与数乘如通常定义。对 x、y∈C(Ω)定义,当t∈Ω。这时(x∨y)(t)=max{x(t),y(t)},易见 CR(Ω)是向量格。②设(x,B)是可测空间。设V是全体在(x,B)上有限的,完全可加的集合函数。对μ12∈V 及实数α定义,E∈B;,E∈B,α是实的;,E∈B。这时,
  
  

  当E∈B。可以证明,V是向量格。③对希尔伯特空间H上有界线性算子A与B,如果对任何有界的T使AT=TA皆有BT=TB,则称B堻堻A。设 A是H上给定的有界自伴算子,令RA={H;BA},定义,当x∈H,则对有。这里而且C≥0,可以证明RA是向量格。
  
  向量格的性质  在向量格中定义 ,x_=(-x)∨0,|x|=x∨(-x)依次称为x的正部分、负部分、绝对值。在向量格中,每个元x都有若尔当分解。这是有界变差函数以及抽象测度论中的结果的推广。
  
  对向量格E中的一族元素,若有x∈E,使得x≥xα对一切α∈A成立,又任何y≥yα对一切,则称x为之上确界,记作。同样,可定义下确界在一般的向量格中,上方有界的点列未必有上确界。如果对Χ之任何上方有界点列,必有上确界,则称Χ 为σ-完备的。前述之向量格V与RA都是σ-完备的。
  
  对E中的点列,若有单调递减的点列wn使得,而,则称xn序收敛于x0,记作。
  
  设Χ为实的巴拿赫空间。如果Χ还是一个向量格,而且
  ,则称Χ为巴拿赫格。这是线性关系,格序关系以及范数的结合。
  
  利用格序关系与序收敛,对σ-完备的向量格 Χ可定义绝对连续元素与奇异元素,从而将拉东-尼科迪姆定理推广成:Χ的每个元都可惟一地表示成绝对连续元与奇异元的和。又对某些σ-完备向量格中之元α,可惟一地确定一个单位分解{eλ;-∞<λ<∞},使,从而将自伴算子谱分解定理推广到适当的 σ- 完备向量格上。设Χ为巴拿赫格,如果还有x≥0,,则称Χ为抽象L1空间。可以证明有测度空间Ω使得这种Χ线性的,保范序同构于L(Ω),同样也可用格序关系与范数刻画Lp(Ω)与C(K),这里K是紧空间。
  
  

参考书目
   关肇直编:《泛函分析讲义》,高等教育出版社,北京,1958。
   A.C.Zaanen and W.A.J.Luxemburg,Riesz Spaces,North-Holland, Amsterdam,1971.
  

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