补充资料：数系

    　　通常指包括自然数（正整数）、整数、有理数、实数和复数的系统。这些数之间的关系如下表：
　　
　　
　　数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半期才完成。
　　
　　自然数 　建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
　　
　　基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。事实上,英文calculate(计算)一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古籍《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这些都是匹配计数法的反映。
　　
　　如果两个集合之间能建立一个一一对应，就说这两个集合是对等的。称对等的集合具有相同的基数。如果一个集合不可能对等于它的任何真子集，则称为有限集。非空有限集的基数，就是自然数。由此能通过集合的并、积运算定义自然数的加法与乘法（见算术）。
　　
　　基数理论依据的是一一对应原则。另一方面，为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应；所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致自然数的序数理论，它是G.皮亚诺于1889年建立的。
　　
　　皮亚诺从不加定义的"集合"、"含有"、"自然数"与"后继"等词出发，规定自然数集满足下列五条公理：
　　
　　① 1是自然数。
　　
　　② 1不是任何其他自然数的后继。
　　
　　③ 每个自然数都有一个后继（记α的后继为α┡）。
　　
　　④ α┡=b)┡蕴涵α=b)。
　　
　　⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1,且S含有α蕴涵S含有α┡，则S含有任何自然数。
　　
　　最后这条公理就是熟知的数学归纳法公理。
　　
　　一切自然数的集记为{1,2,3,..., n,...}，简记为N。
　　
　　从上述公理出发，可以证明，对任何自然数α,b,存在惟一的自然数α+b，满足α+1=α┡,α+b┡=(α+b)┡。α+b)称为α与b的和，相应的运算称为加法。加法满足交换律与结合律。类似地，对任何自然数α，b，存在惟一的自然数α·b,满足α·1=α,α·b┡=α·b+α。α·b（记α·b为αb)称为α与b的积，相应的运算称为乘法。乘法也满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
　　
　　对自然数集可用下述方法定义一个全序。设α，b是自然数，如果存在自然数с，使得α=b+с,则称α>b或b<α。
　　
　　整数 　在自然数集N 之外，再引入新的元素0，-1,-2，-3，...，-n，...。称N 中的元素为正整数,称0为零，称-1，-2，-3，...，-n，...为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。
　　
　　零不仅表示"无"，它在命数法中还具有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹,虽无空位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的零(sunya)字,其原意也是"空"或"空白"。
　　
　　中国最早引进了负数。《九章算术·方程》中论述的"正负术"，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程α+x=b),如果α，b)是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
　　
　　关于整数系的严格理论,可用下述方式建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系～:对于自然数有序对(α₁,b₁)，(α₂,b₂)，如果，就说(α₁,b)₁)～(α₂,b)₂),N ×N 关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。
　　
　　设p,q∈Z,(α,b)∈p，(с,d)∈q,则定义p＋q为(α+с,b+d)所在的等价类，pq为(αс+bd,αd+bс)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的整数p，q，方程p+x=q有惟一的整数解，记为q-p。这种运算称为减法，它是加法的逆运算。
　　
　　设(α,b∈p，如果α>b，则称p为正整数；如果α=b，则称p为零；如果α，则称p为负整数。设p，q∈Z,如果p-q是正数，则称p>q或q。这样就能在整数系中建立一个全序。
　　
　　令自然数n对应于(n+1,1)所在的等价类，就把自然数集嵌入到整数集中。把(n+1,1)所在的等价类仍记为n。把(1,1)所在的等价类记为0,把(1,n+1)所在的等价类记为-n，就有Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}。
　　
　　有理数 　古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用导源于除法运算的需要。除法运算可看作求解方程px=q(p≠0)，如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。
　　
　　关于有理数系的严格理论，可用下述方式建立。在Z×(Z\{0})即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义如下的等价关系：设，如果p₁q₂=p₂q₁,则称(p₁，q₁)～(p₂，q₂)。Z×(Z\{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。(p，q)所在的有理数,记为。一切有理数的集记为Q。令整数p对应于即(p,1)所在的等价类,就能把整数集自然地嵌入到有理数集中。习惯上把仍记为p。
　　
　　设为有理数，则定义为(ps+qr,qs)所在的等价类，为(pr,qs)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的有理数α，β，方程α+x=β，αx=β（后者要求α≠0）恒有有理数解。第二个方程的解，称为α除β所得的商，相应的运算称为除法。除法是乘法的逆运算。Q 关于加法与乘法构成一个域，称为有理数域。
　　
　　设如果pq是正整数，则称α是正的，记为α>0。于是仍可用α>β当且仅当α-β>0来规定Q上的全序。这个全序满足：α>β蕴涵α+γ>β+γ；α>0，β>0蕴涵αβ>0；给定α>0，β>0，存在正整数n，使得βα。最后的陈述称为阿基米德性质。这样，Q是一个阿基米德有序域。
　　
　　实数 　为表示各种几何量(例如长度、面积、体积)与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要引进无理数。约在公元前530年,毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即）不能是有理数。
　　
　　除了同类量可以相加外，上述这些量的另一显著特征是任一量能不断分割。这种"无穷可分性"，是实数系连续性的体现。
　　
　　实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，K.（T.W.）外尔斯特拉斯(1859年开始)、H.C.R.梅雷(1869)、J.W.R.戴德金(1872)与G.（F.P.）康托尔(1872)作出了杰出的贡献。
　　
　　大体说来，构造实数系有两条途径，一是戴德金的途径，另一是G.康托尔等人的途径。
　　
　　康托尔实数论的出发点，是有理数的基本序列。设是有理数序列。如果对每个正有理数r，存在自然数N,使当n,m≥N 时,有,则称所给序列为一个基本序列，又称柯西序列。设是有理数的两个基本序列，如果对每个正有理数r,存在自然数N,使当n≥N时,有则称这是一个等价关系。有理数基本序列的集关于这个等价关系的等价类，称为实数。一切实数构成的集，记为R。对有理数α,令序列{α,α,...}所在的等价类（仍称为有理数α）与之对应,就能把有理数集嵌入于实数集中。不是有理数的实数，称为无理数。
　　
　　设x，y是实数,则定义x+y为所在的等价类，xy为所在的等价类。实数集关于这样定义的加法与乘法构成一个域。
　　
　　对于实数x，如果存在正有理数r与自然数 N，使当n≥N 时,,则称x为正的,记为x>0。于是又可用x>y当且仅当x-y>0来定义R上的一个全序。类似于Q，R也是阿基米德有序域。
　　
　　由实数构成的基本序列必有极限（柯西准则）。这称为实数系的完备性。
　　
　　戴德金实数论的出发点是有理数的划分。设A，B是Q的非空子集。如果Q=A∪B，且对任何α∈A，β∈B，必有α<β，则称(A,B)为Q 的一个划分。有理数的一个划分定义一个实数。对有理数的任一划分(A,B)，或者A有最大元，B无最小元；或者A无最大元,B有最小元；或者A无最大元，B无最小元。第一、第二两种情形实质相同，此时称(A,B)定义一个有理数。在这两种情形下，令A的最大元或B的最小元对应于(A,B)，就使有理数集自然地嵌入到实数集中。
　　
　　对于实数x=(A₁,B₁),y=(A₂,B₂),如果A₁嶅A₂,则定义为x≤y。定义,其中。如果x≥0，y≥0，则定义,其中。其余情形的乘积由符号法则规定，例如当x≥0，y<0时,定义xy=-(x(-y))。在这样的定义下,一切实数构成一个阿基米德有序域。
　　
　　对于实数系R的任一划分(A,B),或者A有最大元，B无最小元;或者A无最大元,B有最小元。这表明对实数系再加以划分已不能产生新的数。这就是实数系的连续性。
　　
　　由此可见，实数系可定义为具有完备性或连续性的阿基米德有序域。（见实数）。
　　
　　复数 　从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。G.卡尔达诺在《大法》(1545)中阐述一元三次方程解法时，发现难以避开复数。吉拉尔认为复数至少可以作为代数方程的形式解。也有不少数学家不承认复根，例如笛卡儿。事实上"虚数"这一称呼就始自笛卡儿。关于复数及其代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由C.韦塞尔、J.B.阿尔根和C.F.高斯等人建立的。高斯引进了"复数"这一名词。
　　
　　由实数定义复数的方法很多。例如，称实数的一个有序对(x,y)为一个复数。加法与乘法分别定义为一切复数的集C 构成一个域,令实数x对应于(x,0)，就使实数域嵌入于复数域中。y≠0的复数(x,y),常称为虚数。(0,1)称为虚数单位,记为i。(见复数)
　　
　　

参考书目
　　　艾·兰道著，刘绂堂译：《分析基础》，高等教育出版社，北京，1958。(E.G.H.Landou,Grundlαge der Analyse,Akademischer Verlag, Leipzig, 1934.)
　　

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。