补充资料：代数函数域

    　　一个域上的n(n≥1)元有理函数域的有限扩张。设K是一个在任意域F上经添加有限个元素x₁,...,x_n,x_n+1,...,x_s所生成的域,其中x₁,...,x_n(n≥1)在F上是代数独立的；x_n+1,...,x_s关于F(x₁,...,x_n)是代数元，则称K是以F为系数域的n元代数函数域。当n=1时,简称K为F上的代数函数域,记作K/F。K中所有关于F的代数元成一个子域F┡，称之为K/F的常量域。为了方便起见，以下设F本身就是K/F的常量域。
　　
　　除子 　在代数函数域K/F中,K的一个不平凡赋值,若在F上是平凡的，则称为K/F的一个赋值,由K/F的离散赋值所成的等价类,称之为K/F的素除子。这种素除子有无限多个。作形式幂积其中α_p是整数,而且只有有限多个不为零;p取遍K/F 的所有素除子。这种α称为K/F的除子。如果每个α_p都不是负整数,那么α就称为整除子。对于两个除子和规定:α=b，当且仅当对每个p都有α_p=b_p；规定乘法运算为 ；除子记为α^-1。若α^-1b是一整除子，则称 α除尽b，记作α｜b。
　　
　　亏格 　由于素除子p的剩余类域是F上的一个有限扩张,其扩张次数称为素除子p的次数，记为d(p)。规定除子的次数为于是有d(α^-1)=-d(α)以及d(αb)=d(α)+d(b)。
　　
　　对于K中不为零的α,规范化的指数赋值v_p（α）=m_p是整数，且只有有限多个 p有 m_p≠0，从而可作出除子设α是任一除子。子集L(α)=｛α∈K｜α=0，或者α|(α)｝形成F上的一个有限维空间,它的维数,记为l(α)。当α遍取K/F中所有的除子时,整数集{l(α)+d(α)}是有下界的。令由此确定的非负整数g是代数函数域的一个重要不变量，称为K/F的亏格。虽然是B.黎曼首先明确提出并命名它为亏格的，但是早在N.H.阿贝尔的著作中就已经出现过。
　　
　　微分和黎曼-罗赫定理 　作K关于离散赋值v_p的完备化(completion)K_p,于是K_p的元素都可以表作某个π∈K的形式幂级数。设F是个完全域(perfect field)。则可选择适当的t∈K,使得K成为F(t)的可分代数扩张。另一方面,t作为K_p的元素,有规定并以dt记向量其中每个分量是对不同的素除子p来取的,因此dt是个无限向量。对于K 中每个u,规定并称之为K的微分。当u≠0时，总有于是是整数，且只有有限多个不为零,由此定出一个除子若对某个除子b有b│(udt)，则称udt被b除尽。K中所有被b除尽的微分（包括0）,组成F上一个有限维空间，它与t、π的选择无关，它的维数记作δ(b)。
　　
　　黎曼-罗赫定理　对于代数函数域K/F的任何一个除子α，恒有等式l(α)=d(α^-1)-g+1+δ(α^-1)成立。
　　
　　亏格为0和1的代数函数域 　 F上的有理函数域F(x)，它的亏格为0。反之，若K/F的亏格是0,则除了有理函数域外，K只能是F上圆锥曲线的函数域，即K=F(x,y)，其中x与y满足F上圆锥曲线的方程
　　
　　
　　亏格为1的代数函数域称为椭圆域。特别在F为复数域C时，以复数α、b（α/b不是实数）为周期的椭圆函数组成一个域K，作为C上的代数函数域而论，它的亏格等于1。
　　
　　在历史上曾企图把形如的积分用有限的形式表出，于是引起对代数函数域的研究，这里φ(x,y)是含x、y的有理式；y与x满足一个整关系式??(x,y)＝0。代数函数的理论,历来就有几种不同的描述方法,其中之一属于"算术-代数"这一方向,即所谓代数函数域。它始于19世纪80年代R.戴德金和H.韦伯的工作。自20世纪以来,随着抽象代数学的发展，戴德金和韦伯的理论,先后经E.诺特、 H.哈塞、F.K.施密特和 A.韦伊以及其他学者的逐步简化和推广,对域F的限制得以逐步解除，使这一理论的许多内容包括黎曼-罗赫定理，可以在F为任意域的情况下来建立。
　　
　　

参考书目
　　　C.Chevalley,Introduction to the Theory of Algebraic functions of one variable, Amer. Math.Soc.,New York,1951.
　　　E.Artin,Algebraic Numbers and Algebraic Functions,Grodon and Breach,New York,1967.
　　

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