1) universal coefficient theorem
万有系数定理
2) universal coefficient formula
万有系数公式
3) rational number system
有理数系
1.
In this paper,we construct integal number and rational number system via the method of equivalent classes,and show the strictness of modern mathematics and the evolvement panorama of the numerical systems.
利用等价分类法构建整数与有理数系统,展示现代数学的严密基础与数系发展的全貌。
4) law of rational indices
有理指数定理
5) universal D Alembert principle
万有D'Alembert原理
6) Langevin's theorem
朗日万定理
补充资料：数系
通常指包括自然数（正整数）、整数、有理数、实数和复数的系统。这些数之间的关系如下表：
数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半期才完成。
自然数 建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。事实上,英文calculate(计算)一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古籍《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这些都是匹配计数法的反映。
如果两个集合之间能建立一个一一对应，就说这两个集合是对等的。称对等的集合具有相同的基数。如果一个集合不可能对等于它的任何真子集，则称为有限集。非空有限集的基数，就是自然数。由此能通过集合的并、积运算定义自然数的加法与乘法（见算术）。
基数理论依据的是一一对应原则。另一方面，为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应；所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致自然数的序数理论，它是G.皮亚诺于1889年建立的。
皮亚诺从不加定义的"集合"、"含有"、"自然数"与"后继"等词出发，规定自然数集满足下列五条公理：
① 1是自然数。
② 1不是任何其他自然数的后继。
③ 每个自然数都有一个后继（记α的后继为α┡）。
④ α┡=b)┡蕴涵α=b)。
⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1,且S含有α蕴涵S含有α┡，则S含有任何自然数。
最后这条公理就是熟知的数学归纳法公理。
一切自然数的集记为{1,2,3,..., n,...}，简记为N。
从上述公理出发，可以证明，对任何自然数α,b,存在惟一的自然数α+b，满足α+1=α┡,α+b┡=(α+b)┡。α+b)称为α与b的和，相应的运算称为加法。加法满足交换律与结合律。类似地，对任何自然数α，b，存在惟一的自然数α·b,满足α·1=α,α·b┡=α·b+α。α·b（记α·b为αb)称为α与b的积，相应的运算称为乘法。乘法也满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
对自然数集可用下述方法定义一个全序。设α，b是自然数，如果存在自然数с，使得α=b+с,则称α>b或b<α。
整数 在自然数集N 之外，再引入新的元素0，-1,-2，-3，...，-n，...。称N 中的元素为正整数,称0为零，称-1，-2，-3，...，-n，...为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。
零不仅表示"无"，它在命数法中还具有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹,虽无空位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的零(sunya)字,其原意也是"空"或"空白"。
中国最早引进了负数。《九章算术·方程》中论述的"正负术"，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程α+x=b),如果α，b)是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
关于整数系的严格理论,可用下述方式建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系～:对于自然数有序对(α1,b1)，(α2,b2)，如果，就说(α1,b)1)～(α2,b)2),N ×N 关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。
设p,q∈Z,(α,b)∈p，(с,d)∈q,则定义p＋q为(α+с,b+d)所在的等价类，pq为(αс+bd,αd+bс)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的整数p，q，方程p+x=q有惟一的整数解，记为q-p。这种运算称为减法，它是加法的逆运算。
设(α,b∈p，如果α>b，则称p为正整数；如果α=b，则称p为零；如果α，则称p为负整数。设p，q∈Z,如果p-q是正数，则称p>q或q。这样就能在整数系中建立一个全序。
令自然数n对应于(n+1,1)所在的等价类，就把自然数集嵌入到整数集中。把(n+1,1)所在的等价类仍记为n。把(1,1)所在的等价类记为0,把(1,n+1)所在的等价类记为-n，就有Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}。
有理数 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用导源于除法运算的需要。除法运算可看作求解方程px=q(p≠0)，如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。
关于有理数系的严格理论，可用下述方式建立。在Z×(Z\{0})即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义如下的等价关系：设，如果p1q2=p2q1,则称(p1，q1)～(p2，q2)。Z×(Z\{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。(p，q)所在的有理数,记为。一切有理数的集记为Q。令整数p对应于即(p,1)所在的等价类,就能把整数集自然地嵌入到有理数集中。习惯上把仍记为p。
设为有理数，则定义为(ps+qr,qs)所在的等价类，为(pr,qs)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的有理数α，β，方程α+x=β，αx=β（后者要求α≠0）恒有有理数解。第二个方程的解，称为α除β所得的商，相应的运算称为除法。除法是乘法的逆运算。Q 关于加法与乘法构成一个域，称为有理数域。
设如果pq是正整数，则称α是正的，记为α>0。于是仍可用α>β当且仅当α-β>0来规定Q上的全序。这个全序满足：α>β蕴涵α+γ>β+γ；α>0，β>0蕴涵αβ>0；给定α>0，β>0，存在正整数n，使得βα。最后的陈述称为阿基米德性质。这样，Q是一个阿基米德有序域。
实数 为表示各种几何量(例如长度、面积、体积)与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要引进无理数。约在公元前530年,毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即）不能是有理数。
除了同类量可以相加外，上述这些量的另一显著特征是任一量能不断分割。这种"无穷可分性"，是实数系连续性的体现。
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，K.（T.W.）外尔斯特拉斯(1859年开始)、H.C.R.梅雷(1869)、J.W.R.戴德金(1872)与G.（F.P.）康托尔(1872)作出了杰出的贡献。
大体说来，构造实数系有两条途径，一是戴德金的途径，另一是G.康托尔等人的途径。
康托尔实数论的出发点，是有理数的基本序列。设是有理数序列。如果对每个正有理数r，存在自然数N,使当n,m≥N 时,有,则称所给序列为一个基本序列，又称柯西序列。设是有理数的两个基本序列，如果对每个正有理数r,存在自然数N,使当n≥N时,有则称这是一个等价关系。有理数基本序列的集关于这个等价关系的等价类，称为实数。一切实数构成的集，记为R。对有理数α,令序列{α,α,...}所在的等价类（仍称为有理数α）与之对应,就能把有理数集嵌入于实数集中。不是有理数的实数，称为无理数。
设x，y是实数,则定义x+y为所在的等价类，xy为所在的等价类。实数集关于这样定义的加法与乘法构成一个域。
对于实数x，如果存在正有理数r与自然数 N，使当n≥N 时,,则称x为正的,记为x>0。于是又可用x>y当且仅当x-y>0来定义R上的一个全序。类似于Q，R也是阿基米德有序域。
由实数构成的基本序列必有极限（柯西准则）。这称为实数系的完备性。
戴德金实数论的出发点是有理数的划分。设A，B是Q的非空子集。如果Q=A∪B，且对任何α∈A，β∈B，必有α<β，则称(A,B)为Q 的一个划分。有理数的一个划分定义一个实数。对有理数的任一划分(A,B)，或者A有最大元，B无最小元；或者A无最大元,B有最小元；或者A无最大元，B无最小元。第一、第二两种情形实质相同，此时称(A,B)定义一个有理数。在这两种情形下，令A的最大元或B的最小元对应于(A,B)，就使有理数集自然地嵌入到实数集中。
对于实数x=(A1,B1),y=(A2,B2),如果A1嶅A2,则定义为x≤y。定义,其中。如果x≥0，y≥0，则定义,其中。其余情形的乘积由符号法则规定，例如当x≥0，y<0时,定义xy=-(x(-y))。在这样的定义下,一切实数构成一个阿基米德有序域。
对于实数系R的任一划分(A,B),或者A有最大元，B无最小元;或者A无最大元,B有最小元。这表明对实数系再加以划分已不能产生新的数。这就是实数系的连续性。
由此可见，实数系可定义为具有完备性或连续性的阿基米德有序域。（见实数）。
复数 从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。G.卡尔达诺在《大法》(1545)中阐述一元三次方程解法时，发现难以避开复数。吉拉尔认为复数至少可以作为代数方程的形式解。也有不少数学家不承认复根，例如笛卡儿。事实上"虚数"这一称呼就始自笛卡儿。关于复数及其代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由C.韦塞尔、J.B.阿尔根和C.F.高斯等人建立的。高斯引进了"复数"这一名词。
由实数定义复数的方法很多。例如，称实数的一个有序对(x,y)为一个复数。加法与乘法分别定义为一切复数的集C 构成一个域,令实数x对应于(x,0)，就使实数域嵌入于复数域中。y≠0的复数(x,y),常称为虚数。(0,1)称为虚数单位,记为i。(见复数)
参考书目
艾·兰道著，刘绂堂译：《分析基础》，高等教育出版社，北京，1958。(E.G.H.Landou,Grundlαge der Analyse,Akademischer Verlag, Leipzig, 1934.)
数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半期才完成。
自然数 建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。事实上,英文calculate(计算)一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古籍《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这些都是匹配计数法的反映。
如果两个集合之间能建立一个一一对应，就说这两个集合是对等的。称对等的集合具有相同的基数。如果一个集合不可能对等于它的任何真子集，则称为有限集。非空有限集的基数，就是自然数。由此能通过集合的并、积运算定义自然数的加法与乘法（见算术）。
基数理论依据的是一一对应原则。另一方面，为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应；所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致自然数的序数理论，它是G.皮亚诺于1889年建立的。
皮亚诺从不加定义的"集合"、"含有"、"自然数"与"后继"等词出发，规定自然数集满足下列五条公理：
① 1是自然数。
② 1不是任何其他自然数的后继。
③ 每个自然数都有一个后继（记α的后继为α┡）。
④ α┡=b)┡蕴涵α=b)。
⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1,且S含有α蕴涵S含有α┡，则S含有任何自然数。
最后这条公理就是熟知的数学归纳法公理。
一切自然数的集记为{1,2,3,..., n,...}，简记为N。
从上述公理出发，可以证明，对任何自然数α,b,存在惟一的自然数α+b，满足α+1=α┡,α+b┡=(α+b)┡。α+b)称为α与b的和，相应的运算称为加法。加法满足交换律与结合律。类似地，对任何自然数α，b，存在惟一的自然数α·b,满足α·1=α,α·b┡=α·b+α。α·b（记α·b为αb)称为α与b的积，相应的运算称为乘法。乘法也满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
对自然数集可用下述方法定义一个全序。设α，b是自然数，如果存在自然数с，使得α=b+с,则称α>b或b<α。
整数 在自然数集N 之外，再引入新的元素0，-1,-2，-3，...，-n，...。称N 中的元素为正整数,称0为零，称-1，-2，-3，...，-n，...为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。
零不仅表示"无"，它在命数法中还具有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹,虽无空位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的零(sunya)字,其原意也是"空"或"空白"。
中国最早引进了负数。《九章算术·方程》中论述的"正负术"，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程α+x=b),如果α，b)是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
关于整数系的严格理论,可用下述方式建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系～:对于自然数有序对(α1,b1)，(α2,b2)，如果，就说(α1,b)1)～(α2,b)2),N ×N 关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。
设p,q∈Z,(α,b)∈p，(с,d)∈q,则定义p＋q为(α+с,b+d)所在的等价类，pq为(αс+bd,αd+bс)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的整数p，q，方程p+x=q有惟一的整数解，记为q-p。这种运算称为减法，它是加法的逆运算。
设(α,b∈p，如果α>b，则称p为正整数；如果α=b，则称p为零；如果α
令自然数n对应于(n+1,1)所在的等价类，就把自然数集嵌入到整数集中。把(n+1,1)所在的等价类仍记为n。把(1,1)所在的等价类记为0,把(1,n+1)所在的等价类记为-n，就有Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}。
有理数 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用导源于除法运算的需要。除法运算可看作求解方程px=q(p≠0)，如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。
关于有理数系的严格理论，可用下述方式建立。在Z×(Z\{0})即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义如下的等价关系：设，如果p1q2=p2q1,则称(p1，q1)～(p2，q2)。Z×(Z\{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。(p，q)所在的有理数,记为。一切有理数的集记为Q。令整数p对应于即(p,1)所在的等价类,就能把整数集自然地嵌入到有理数集中。习惯上把仍记为p。
设为有理数，则定义为(ps+qr,qs)所在的等价类，为(pr,qs)所在的等价类。这样定义的加法与乘法满足交换律、结合律与分配律。对于给定的有理数α，β，方程α+x=β，αx=β（后者要求α≠0）恒有有理数解。第二个方程的解，称为α除β所得的商，相应的运算称为除法。除法是乘法的逆运算。Q 关于加法与乘法构成一个域，称为有理数域。
设如果pq是正整数，则称α是正的，记为α>0。于是仍可用α>β当且仅当α-β>0来规定Q上的全序。这个全序满足：α>β蕴涵α+γ>β+γ；α>0，β>0蕴涵αβ>0；给定α>0，β>0，存在正整数n，使得β
实数 为表示各种几何量(例如长度、面积、体积)与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要引进无理数。约在公元前530年,毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即）不能是有理数。
除了同类量可以相加外，上述这些量的另一显著特征是任一量能不断分割。这种"无穷可分性"，是实数系连续性的体现。
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，K.（T.W.）外尔斯特拉斯(1859年开始)、H.C.R.梅雷(1869)、J.W.R.戴德金(1872)与G.（F.P.）康托尔(1872)作出了杰出的贡献。
大体说来，构造实数系有两条途径，一是戴德金的途径，另一是G.康托尔等人的途径。
康托尔实数论的出发点，是有理数的基本序列。设是有理数序列。如果对每个正有理数r，存在自然数N,使当n,m≥N 时,有,则称所给序列为一个基本序列，又称柯西序列。设是有理数的两个基本序列，如果对每个正有理数r,存在自然数N,使当n≥N时,有则称这是一个等价关系。有理数基本序列的集关于这个等价关系的等价类，称为实数。一切实数构成的集，记为R。对有理数α,令序列{α,α,...}所在的等价类（仍称为有理数α）与之对应,就能把有理数集嵌入于实数集中。不是有理数的实数，称为无理数。
设x，y是实数,则定义x+y为所在的等价类，xy为所在的等价类。实数集关于这样定义的加法与乘法构成一个域。
对于实数x，如果存在正有理数r与自然数 N，使当n≥N 时,,则称x为正的,记为x>0。于是又可用x>y当且仅当x-y>0来定义R上的一个全序。类似于Q，R也是阿基米德有序域。
由实数构成的基本序列必有极限（柯西准则）。这称为实数系的完备性。
戴德金实数论的出发点是有理数的划分。设A，B是Q的非空子集。如果Q=A∪B，且对任何α∈A，β∈B，必有α<β，则称(A,B)为Q 的一个划分。有理数的一个划分定义一个实数。对有理数的任一划分(A,B)，或者A有最大元，B无最小元；或者A无最大元,B有最小元；或者A无最大元，B无最小元。第一、第二两种情形实质相同，此时称(A,B)定义一个有理数。在这两种情形下，令A的最大元或B的最小元对应于(A,B)，就使有理数集自然地嵌入到实数集中。
对于实数x=(A1,B1),y=(A2,B2),如果A1嶅A2,则定义为x≤y。定义,其中。如果x≥0，y≥0，则定义,其中。其余情形的乘积由符号法则规定，例如当x≥0，y<0时,定义xy=-(x(-y))。在这样的定义下,一切实数构成一个阿基米德有序域。
对于实数系R的任一划分(A,B),或者A有最大元，B无最小元;或者A无最大元,B有最小元。这表明对实数系再加以划分已不能产生新的数。这就是实数系的连续性。
由此可见，实数系可定义为具有完备性或连续性的阿基米德有序域。（见实数）。
复数 从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。G.卡尔达诺在《大法》(1545)中阐述一元三次方程解法时，发现难以避开复数。吉拉尔认为复数至少可以作为代数方程的形式解。也有不少数学家不承认复根，例如笛卡儿。事实上"虚数"这一称呼就始自笛卡儿。关于复数及其代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由C.韦塞尔、J.B.阿尔根和C.F.高斯等人建立的。高斯引进了"复数"这一名词。
由实数定义复数的方法很多。例如，称实数的一个有序对(x,y)为一个复数。加法与乘法分别定义为一切复数的集C 构成一个域,令实数x对应于(x,0)，就使实数域嵌入于复数域中。y≠0的复数(x,y),常称为虚数。(0,1)称为虚数单位,记为i。(见复数)
参考书目
艾·兰道著，刘绂堂译：《分析基础》，高等教育出版社，北京，1958。(E.G.H.Landou,Grundlαge der Analyse,Akademischer Verlag, Leipzig, 1934.)
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条