补充资料：一致收敛

一致收敛
uniform convergence

一致收敛1.面fo旧ne洲ergenee;pa.“OMepHa，cxo几“·MocT‘」，函数(映射)序列的 序列f。:X~Y(n二1，2，二)收敛于函数(映射)f:X~Y的一种性质(其中X是任意集合，Y是度量空间)，它要求对于任意。>O，存在(与x无关的)数。:，使得对所有n>。;及所有x〔X，不等式 p(f(x)，f。(x))<。·成立.它等价于 。叭鹦p(f。(x)，f(x))一0.序列{f。}在集合X上一致收敛于函数f，充要条件是存在数列{“。}，lixn，_。气=o，也就是说，有一个数n。，使得对n>n〔，及所有义任X，不等式 p(f。(x)，f(x))簇气成立. 例序列{f。(x)}二{x”}(。=1，2，…)在任何区间【O，a」(0极限函数. 一致收敛序列的性质.1.若Y是赋范线性空间，两个映射序列f。二X一Y与g。二X一Y在X中一致收敛，则对任意又，拼。C，序列{几f。+拼g。}也在X中一致收敛. 2.若Y是线性赋范环，序列f。;X~Y(n“1，2，…)在X中一致收敛，g:X~Y是有界映射，则序列{gf。}也在X中一致收敛. 3.若X是拓扑空间，Y是度量空间，在x。‘X连续的映射序列f，:X~Y在X中一致收敛于f:万一Y，则f也在x.，连续，即少见.户叹大.(，)一。1叹几(‘。)一。唤煦。f。(‘)·这个结沦中，x中序列{.f。}一致收敛这个条件是本质的.在这个意义上，存在着在区间上连续的数值函数序列，它在所有点收敛于在上述区间不连续的函数.例如【o，11上的/。(x)二x”，n二1，2，…连续函数序列的一致收敛不是极限函数连续性的必要条件.但是，若X是紧集，Y是实数集R，连续函数序列厂;X，R中所有函数在所有点义‘X同为递增或递减，序列有有限极限二 。叭.f。(x)二f(x)，则了在x上连续的充要条件是{f。}在该集合上一致收敛.连续函数序列极限的连续性，其必要，同时又充分的条件，一般用序列伪一致收敛(quasi~溯jform con-vergCnce)这种说法给出. 4若〔“，b]上Rien长ulll(玫besgue)可积函数序列九;l“，b]卜R(n“1，2，…)一致收敛于函效/:l“，bj一R，则该函数也Ri~(相应地，Lcbesgue)可积，且对任意x钊a，b]有ih二)j】(!)/亡一)了“，‘t一)·叭了·‘!，过!，(*)序歹。{丁几厂，(:)d。}在l。，b1上一致收敛于仁f(:)d。.公式(*)能推厂’到Stieltjes积分(Stieltjes integral)的情形.但是，如果【a，b]上可积函数序列f。(n二1.2，…)在区间的每一点仅收敛于可积函数f，则(*)未必成立. 5.若ia，b1上连续可微函数序列f。:Ia，b]一R(”=1，2，…)在某点xo可a，b]收敛，且导数序列{d厂./d、}在l。，b]上一致收敛，则序列{f。}在【a，b]上也一致收敛，其极限是区间上连续可微函数，且 厅d厂fx) 二二lltn厂_〔x、二l油二望止上、二止-.a簇x簇b. aX”‘兀”一的“X 设X是一个集合，Y是一个度量空间，函数(映射)族f。;X~y(“任u，U为拓扑空间)称为在，卜山，‘Ul卜士一致收敛(叨ifomdy convergent)于函数(映射)l:X~y，如果对于任意。>0，存在:。的一个邻域U(，。)，使得对所有二任U(仪。)及x〔x，不等式 P(f(x)，f，(x))<￡成立. 一致收敛函数族与上述一致收敛函数序列有类似的性质. 映射一致收敛的概念可以推广到Y是一致空间(uniforrn sPace)，特别地，Y为一拓扑群的情形.【补注】下述定理:连续函数的单调序列一致收敛于它的点态极限，如果这个极限连续，就是熟知的D而定理(D而theorenl).

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