补充资料：辛结构

辛结构
symplectic structure

　　辛结构卜”n口“为cs加目tU比;饮MnJIe灿，ec姗c印”“y-Pal 在一个偶数维可定向光滑流形M，”上由一个非退化2形式中所定义的一阶无穷小结构(加f加t巴爪ulstl-tlcture).每一个切空问T、(MZ勺有辛空问结构，其反对称数量积是中(x，Y)，MZ”的所有与辛结构相适配的切标架(即关于该标架，小有典范形式中=2艺::_。。’八。·+·)构成M，上的一个主丛，其结构群是辛群(s，nplectie脚up)Sp(，，).在M，”上指定一个辛结构等价于在MZ”上指定一个sp(n)结构(见C结构(G一st田ctu化)). 在M，”上给定一个辛结构，则在M“”上的向量场和1形式的模之间存在一个同构.在该同构下向量场X对应于1形式。、:Y卜中(X，Y).在这种情况下，Lie括号【x，yl的象称为Po讹on括号(Poissonb陇ket)[臼、，。y].特别是，当。、，。:是恰当微分时，便得到M“”上两个函数的Poisson括号的概念，推广了相应的经典概念. 辛结构也称为殆Han宙ton结构(aha邝t Harr』-tollitln strUctUre);如果中是闭的，即d。二0，则称为Halllilton结构(Ha而lto面an stiuc仪u℃).有时条件d中二0也包含在辛结构的定义之中.这些结构在大范围分析力学中找到了应用，因为任意一个光滑流形M的余一切丛T*(M)有一个典型的Ham让ton结构.它由形式中二d口定义，这里T*(M)上的1形式口称为Lio洲lle形式(Llouville form)，定义为:对于在点。〔T*(M)的任意一个切向量戈，0。(戈)二“(二.戈‘).其中川T牢(M)~M是投影.如果在M上选取局部坐标x’，一，x”，“一夕，(u)dx龙(。)，则口一yd丫，所以小一dy，八d丫.在经典力学中，M解释为构形空间，T‘(M)是相空间. 在有Hamilton结构的流形M“”上的一个向量场X称作是一个Harr亩ton向量场(Harr川ton以n狱torfiekl)(或Hahalton系统(Hamilto:lians势tem))，如果l形式田:是闭的.如果它是恰当的，即似、一一dH，则称H为MZ上的一个卜Iamiltoll量(Hamilto币an)，它是相应的经典概念的推广.【补注】对于一个流形上的辛结构，通常要求定义中的2形式中是闭的(参看【All，P .176，[A4」，P .36ff).若小未必是闭的，通常说成是殆辛结构(almostsylllPlectic strUcture). 用小(o，)记在辛流形M上与l形式田对应的向量场，则在C‘(M)上的PoisS0n括号定义为 {f，妇二中(州试f)，州dg)).这使C的(M)成为一个Lie代数，它满足切brnz性质(切bn沈propel勺) {、/。h}={f，g圣h+。{j，h}.(*)更一般地，若一个代数A有一个额外的L记括号{，少使得(，)满足，则称它为一个PoisS0n代数(POisson al罗b扭).若一个光滑流形M在C的(M)上有一个Poisson代数结构，则称为一个Poisson流形(Poisson marlifold)，【A4」，p .107 ff.
　　

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