补充资料：逆步表示

逆步表示
contragredient representation

【补注】设A任g*是表示尹的最高权，则A的数值记号的集合(set ot rl umeri以1 mar地)就是整数的有序集(k，。二，k)，权二\(划见C田铂n定理((》比山山印-rem).特别地，亡可作为Dynkin图上相应结点的标号止，生明译许以超校逆步表示仲阅加唱戏劝证.t比p到芡诊ntati血;劝I.Tpar衅八I.e-It仪oe nPe月cT脚eII皿]，群G在线性空间于止的表示毋的 群G在V的对偶空间V‘中的表示中*，它由下列规则定义: 扩(9)二，(夕一‘)‘对所有g‘G成立，其中*表示取伴随. 更一般地，若W与V是同一个域k上的线性空间，(，)是在VxW上(配对)且取值在k中的非退化双线性型(bilinear form)，则G在W中的表示少称为对于型(，)逆步于表示毋，如果 伸(a)x，y)=(x，妙(g一’)夕)对所有g‘G，x‘V及y任w成立. 例如，若G是有限维空间V上的一般线性群，则G在V上固定秩的共变张量空间中的自然表示逆步于V上同秩的反变张量空间中的自然表示. 令V在k上是有限维的，(e)是它的基，而(f)是v*中与(e)对偶的基，则对G中任何元g，护匆)在基汀)下的矩阵是由毋勿)在基(e)下的矩阵取逆且转置.若，不可约，则甲.也是.若G是具有Lie代数g的L记群，而d中和d砂是代数马的分别由G在空间U和w中的两个表示中和妙所诱导出的表示，又设中和妙对于配对(，)是逆步的，则 (匆(幻(x)，y)=一(x，种(X)y)(一)对所有X任g，x任V及y〔万成立.咏代数g的满足(*)的表示也称为对于(，)的逆步表示. 进而假设G是复连通且单连通的半单Lie群，举是它在向量空间V中的有限维不可约表示.表示护的权(见价代数表示的权(weight of representation ofa Lical罗bra))与甲的权是反向的，妒的最低权与势的最高权反向(见关于最高(权)向量的C.血门定理(Cal铂n山阳n万n)).表示职与尹等价，当且仅当在V上有在势(G)下不变的非零双线性型.若这样的型存在，则它必定非退化且对称或反对称.表示护的最高权的数值标记可由沪的数值标记的集合经置换而得到，该置换是由G的单根系△的1〕ynkill图的下述自同构，所诱导的: a)，把么的每个连通分支八，(诬二l，、、·，l)变成自己; b)若△‘的型为A，，众，十1或E。，则，在A，上的限制为△，的自同构群中唯一的二阶元素;其余的情况，v在八上的限制是恒等变换.

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