补充资料：子集公理模式

    　　公理集合论（见集合论）的一个公理模式，也称为分离公理模式。它相当于无穷多条公理,对每个公式φ有一条公理。设φ为含自由变项u的公式,φ中其他自由变项可看作参量，则对任意的集合x，存在集合y，y恰由x中那些满足φ 的u组成。
　　
　　将它写成公式，就是：
　　
　　
　　　凬zヨy凬u(u∈y凮u∈x∧φ(u))。
　　这样得到的y是x的子集,其元素都是x的元素。该公理因此而得名。
　　
　　子集公理模式的提出，是为了对集合的规模加以限制，即把集合论的创始人G.F.P.康托尔所认为的满足一个性质的全体对象组成一个集合，这样一种概括过程限制在一个已知集合之内，以避免悖论，如罗素悖论、布拉里-弗蒂悖论等。
　　
　　在集合论中，有了外延性公理、空集公理、对集公理、子集公理模式、并集公理、幂集公理和无穷性公理这 7条公理，就可以定义自然数、实数等数学对象，但仍有很多重要的集合产生不出来。为此，还得有一个更强的公理。
　　
　　替换公理模式设φ为含自由变项u,υ的公式，u，υ以外的自由变项可看作参量，并且对每个u至多有一个υ使φ(u,υ)成立，那末对任何集合x都存在集合y,y恰由对x中的u 使φ(u,υ)成立的υ组成。即：
　　凬u凬υ凬ω(φ(u,υ)∧φ(u,ω))→凬xヨy凬υ(υ∈y凮
　　
　　
　　 ヨu(φ(u,υ)∧u∈x))。
　　替换公理也是无穷多条,而且对每个公式φ都有一条公理。
　　
　　由替换公理可以推出子集公理。利用替换公理，取x=ω,(u,υ)为(u∈ω∧υ=ω+u),可以证明y={ω,ω+1,...}是集合;若再用并集公理就可得到ω+ω是集合。类似地还可以证明{埲,埌,...}也是集合。
　　
　　超穷递归定理的证明离不开替换公理，而且在定义序数运算和讨论集合论的模型时也都离不开替换公理。
　　

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