补充资料：大范围Riemann几何学

大范围Riemann几何学
Riananrian geometry in the laige

大范围Rie叮.nn几何学【Ri~ge侧.比甸加触h很e;P”M盼璐a reoMe印”:B双e二oM] Ri日rr以nn几何学的一个分支，研究几err坦nn流形的局部性质和整体性质之间的联系.“大范围Rlen坦川1几何学”这个名称通常是指大范围几何学(gco服tryinthe!arge)所特有的特定范围的问题和方法而言的.大范围Rienl通刊1几何学中最基本的是研究凡en坦nn流形的曲率和拓扑之间的联系.因而，要研究与曲率满足给定条件的Rielnann流形的拓扑结构和度量结构有关的一些问题，例如，在给定的光滑流形上曲率具有给定性质的那种Rielr坦nn度量的存在性问题(截面曲率(seetional eurvature)K。;Ricci曲率(Ricei eurva-姗)Ric;标且曲率(scalar eurvature)K，。)).已经得到的大部分结果与曲率不变号的空间有关.大范围Ri~几何学与齐性空间(honlo罗nuous space)理论和测地线的变分理论(见测地线(罗以纪sic line))有密切关系.关于Rielr脸Inn流形的子流形，见等距浸入(is。“r州c~sion)和浸入流形的几何学(geo此卿of lrn饮刁ded叮‘nifolds). 大范围Riel刀以nn几何学的方法具有综合性的特点，除了局部微分几何学外，还广泛地用到微分方程理论和M晚se理论(Morse theory).主要的成绩是发现了一些一卓有成效的构造，诸如闭测地线的构造，极小曲面或测地曲面的构造，极限球面的构造以及凸集的构造.对Ri。比以nn流形的拓扑的研究通常领先于其度量性质的研究.后者常常是通过与适当的标准空间作比较来完成的(见下面的比较定理). 拓扑结构.对于闭曲面，曲率与拓扑之间的关系本质上是由G如55-B心仙et公式决定的(见Gauss-色朋.et定理(Gauss~BOrmet此。relll)).在闭曲面中，只有球面52和射影平面PZ能有正曲率的度量;只有环面和Klein瓶能有零曲率的度量.维数刀>2的Ri曰比以nn流形的结构所知还甚少(l男1).下面给出一些已知定理的例子. 一个K。簇O的单连通完全Rierr达nn流形M”微分同胚于R”(Hada耳团rd一Cartan定理(Hada翔团心-Cartan theo比n飞));此外，对任意点欠6M”，指数映inJ(。)，定义为inf{Cut域11(古):看任T。M，}}否}}二l}，M的整体单射半径(glo回mdius of injectivity)是inf{响{m):。

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