补充资料：白噪声分析

白噪声分析
white noise analysis

　　有形田广义函数都是有限阶的((.少·)’=口养，(、犷)一，);T和S变换可扩张到(夕·)’，定义为广义函数小对〔，·)中的指数函数的作用:(T。)(f)=<。，。‘朴);任何正的及田广义函数中都是一个正测度v。(KoH八-paTbeB，CaMo认几eHKo与横井的一个定理([A13]，IA14」)) 瑰田广义函数的例子.1)局部Wlck幂(focalWiek Power): 中(。)二:。”(t):，(S中)(f)二f.(t). 2)功nsker占函数(Donsker占~丘mction): 中=j(B(t)一a)， (S。)(f)一(2:t)’/，e(F(‘)一)’/(，!，，其中F(:)一丁台f(s)J 5. 3)白噪声占函数(white noise占~丘mction)。=j。，，由下式给出: <。，争)二不(。)，(s。)(f)二。‘“·介e(f). 4)正规化Gauss函数(norlllal」zed G-auss~): 侧叫二一军共迄黑一， E(e、山人“”) (S小)(f)一。‘f，(K/(‘一2、))，，.注意例4)的正规化指数。(田)=Nexp((田，K田>)对于一大类算子K有完全确定的S变换，比单独用来定义Gauss型与分母的正规化常数的算子类要大得多.对于这样的K，可以由它的S变换来定义Nexp(<田，Ka，)).以其S或T变换来描述魏田广义函数是十分有用的.这之所以可能，是由于下面的表征定理(charaeterization theo~)(【A15」).如下三个命题是等价的: a)设F是Schwartz空间上的复值泛函，使得对任何.厂〔丫:i)g(又，f，，fZ)三F(又f，十fZ)有一个又的整解析开拓;五)对于某正数C‘和p和所有复数公有如下的上界估计: IF(z，f)!簇C，exp(C 2 12}’}l通’fl{;). b)F是一个及田广义函数。钊L?)’的S变换. c)F是一个疮田广义函数。钊酬)‘的T变换. 具有上述性质a)的泛函已被称为U泛函(U-丘mctionals).作为这个定理的一个推论是，如果其对应的U泛函序列是一致收敛的，那么魏田广义函数的序列必定收敛.类似的定理已被证明对于更一般的Gauss系统也成立，特别涵盖了多参数白噪声或向量值Bn)们运动的广义函数这种有意义的情形([A161).其他变种则处理放宽关于U泛函的增长条件a)五)的空间(汇A17」，[A18]) 显然，扩充(LZ)的广义函数空间的构造远非唯一其他的例子有由P.A.Meyer(【A19])、杉田“A211)、渡边“八口0」)研究过的三元丝且，它有较大的检验函数空间，从而有较少的广义函数.还需指出，tAS]中P.K比e的文章有他的原始工作的一个概述与参考文献.相反地，由Meyer和严加安(tA181)提出的三元组由于去掉了U泛函的增长条件而达到了一个更大的广义函数空间.在量子概率(quant切rn pro-恤bi】ity)文献中讨论的检验泛函空间的例子是【八221的空间K二自。，。刀(r(all)). 表征定理有许多的应用和推论，例如动在上面给出的S变换的诸例中，易简洁验证其U泛函性质;从而这个定理直接保证了这些表示式的确是魏田广义函数的S变换.川U泛函在逐点加法与乘法下显然组成一个代数;这导致〔7)‘上的两个代数结构，其相应的广义函数之乘积分别是卷积(用T一l)和正规编序积(用(S一‘)).下)在一对涨田变换之间存在如下的线性关系 S中=F=T小.如果用一个正态分布(加爪.1 distribution)代替白噪声测度，可以发现中不是别的，而是中的F以的er变换(Fourier transform). 无穷维F加的er变换.见[A23]一[A25]，[A41第9章.上面的评注建议如下的定义:对于小钊夕)‘，称金二T一’s小为中的Fourie:变换(Fouric:trans-允nn). 若干例子与性质如下.1的Fo盯ier变换是零点处的白噪声占函数:i一。。，占。一1.Fourie:变换把导数与坐标乘法相互关联 (日叫‘一佃示，(。明‘二叼击.这就是为什么单挑出中~小作为Fourier变换对无穷维的自然推广的原因:这是唯一的(当然除相差一常值乘子外)从(夕·)‘到其自身的具有这个关联性质的连续线性变换([八261). 残‘d旧以型.见，口71，[A28]，[A4]第10章.回忆一下正的形田广义函数必是测度，对于任何严格正(即v。在所有开集上为正)且使。在L:(dy。)为可闭的涨田广义函数中，从 。(价)“<小，}V中}’>，得到Dinchlet型。“A29」一1 A31」)，然后对于这样的。，在LZ(dv。)中有 万(p)=J!万”，职IJ’，其中H是与一状态空间为‘7‘(R)的扩散过程相联系的MapK皿半群的自伴生成元. 若干应用.上面是【A32]中有限维局部Dirichiet型的一个直接推广，用量子力学基态的语言，它产生了Schr团inger Hamilton算子H及解非线性随机微分方程的扩散过程.在现在的构架中，人们自然会提出这样的问题:用对白噪声测度产的(广义)密度函数，即经由正的。

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