补充资料：奇异积分的交换子

    　　调和分析中典型的一类非卷积算子。设T₁,T₂是两个算子（一般说来，设它们的作用次序是不可交换的，即T₁T₂T₂T₁），定义T₁与T₂的交换子为T₁T₂－T₂T₁，记为[T₁,T₂]，即[T₁,T₂]＝T₁T₂-T₂T₁。如果在L²(R)中取T₁＝A为用函数A(x)作乘法的算子，即A(??)(x)＝A(x)??(x),取T₂为奇异积分即希尔伯特变换H或它与微分算子的整数次幂的乘积,这时所得到的交换子称为奇异积分的交换子。例如,C₁(??)=[A,DH]??就是一个奇异积分的交换子。形式地在积分号下取微商，得到注意到H是 L²有界的，容易猜测：只要A┡(x)∈L^∞，即本性有界,C₁(??)对??来说是L²到L²有界的。但由于这个算子不是卷积算子，这个猜测较难验证。直到1965年才被A.P.考尔德伦用复杂的复分析技巧加以证明。对DⁿH,与A作n次的交换子运算,便得到高阶奇异积分的交换子（省略一个常数因子）
　　
　　考尔德伦的方法不适用于高阶的情形。1975年R.考伊夫曼与Y.迈耶用实分析的方法证明了：若A┡(x)∈L^∞，则C_n(??)是L²到L²的有界算子。1982年他们与A.麦金托什合作,通过对C_n(??)的算子模作精确的估计,证实了关于李普希茨曲线上柯西积分算子的考尔德伦猜想:若A┡∈L^∞，则定义在复平面的李普希茨曲线z(x)＝x+iA(x)上的柯西积分算子是L²到L²有界的。
　　
　　奇异积分交换子的研究,与BMO（有界平均振动）函数有密切联系（见BMO 空间）。例如，1976年R.R.科伊夫曼、R.罗奇伯格与G.韦斯证明了，最简单的奇异积分的交换子对??来说是L²到L²有界的充分必要条件是A为BMO函数,并且交换子的算子模与A的BMO模的大小是差不多的。
　　
　　奇异积分交换子的结果与方法，在调和分析、偏微分方程与非线性分析中有着愈来愈广泛的应用。由于它不是卷积算子，因此，许多古典调和分析的技巧不能直接应用，需要寻求新的方法。
　　
　　

参考书目
　　　A.P.Calderón, Commutators of Singular IntegralOperators,Proc. nat. Acad. Sci. U. S. A.,53, pp.1092～1099,1965.
　　　A.P.Calderón,Commutators,Singular Integral on Lipschitz Curves and Applications,Proc.of the I. C. M.,Helsinki, 1978.
　　　Y.Meyer,Intégrales Singulières, Opérateurs Multilinéaires,Analyse Complexe et Equations aux Derivées Partielles,Proc.of the I.C.M.,Warszawa,1983.
　　

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