补充资料：曲线的亏格

曲线的亏格
genus of a curve

曲线的亏格【g日.启ofaa口，e;p呱盆”加‘】 域k上一维代数簇(习罗braic姐山ty)的一个数值不变量.光滑完全代数曲线(目酬加ic curve)X的亏格等于X上正则微分1形式(见微分形式(d迁rerential场nn))空间的维数.代数曲线X的亏格按定义等于双有理同构于X的完全代数曲线的亏格.对任一整数g>O，都存在亏格g的代数曲线.代数闭域上亏格g=O的代数曲线是有理曲线(份由耐cu丁，e)，即双有理同构于射影直线P!的曲线.亏格g=1的曲线即椭圆曲线(e帅ticc~)，双有理同构于尸中三次光滑曲线.亏格g>1的代数曲线分为两类:超椭圆曲线和非超椭圆曲线.对非超椭圆曲线X，由完全光滑曲线的典范类凡所定义的有理映射码从l:X~尸，一’是一个同构嵌入;而对超椭回曲线(h男咒r.e正PtiCc也、e)X，映射码幻J:X~尸g一’是有理曲线的一个双叶渡叠.妈划(X)它在2g十2个点上分歧. 如果X是一个m次平面射影曲线，则 g一塑上卫处二互一d， 2这里d是一个衡量X偏离光滑性的非负整数.如果X仅有通常二重点，则d等于X的奇点个数.对于空间中曲线X的亏格g，有如下的估计: f竺户2，若m为偶数， _}一-不一.’们”’/刁’门~’ g诀气俪一l、(m一3)一止“ }竺生二巴里‘竺，若。为奇数， 仁4这里m是X在尸3中的次数. 当灭是复数域C时，代数曲线X就是R妇1.1.曲面(Rj日比以朋s班角Ce)，这时亏格g的光滑复曲线同胚于具有g个环柄的球面.

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