补充资料：极大环面

极大环面
maximal torus

的所有极大环面之并集与G的所有半单元素的集合相等(见J加面n分解(Iordand献〕mposition))，而它们的交与G的中心的所有半单元素的集合相等.每个极大环面包含于G的某个刀匀旧子群(E劝化1 sub脚uP)中.极大环面的中心化子是G的一个C臼佃n子群(C加心川su地加uP)，它总是连通的G的任意两个极大环面在G中共辘.如果G定义在一个域k上，那么G中存在一个极大环面也定义在k上，且其中心化子也定义在k上. 设G为定义在域k上的约化群(代幻uctjVe grouP).在G的所有代数子群中，考虑那些本身是k分裂代数环面的极大子群.这样得到的极大k分裂环面在k上共扼.这些环面共同的维数称为G的k秩(k-m砍)，记作rk*G.一般地，一个极大k分裂环面不必是极大环面，因此，rk*G一般小于G的秩(rank)(它等于G中极大环面的维数).如果rk*G=0，就称G为丸上的非迷向群(毗。仃。picg旧uP)，而当rk*G等于G的秩时，称G为瓦上的分裂群(s plitgouP).如果k是代数封闭的，则G总在火上分裂.一般地，G在火的可分闭包上分裂. 例设k为一个域，万是其代数闭包.系数在k中的刀级非奇异矩阵群G=GL。(万)(见典型群〔山·ssiail grouP);一般线性群(gene耐Uneargro叩))，它在k的素子域上定义且分裂.全体对角矩阵构成的子群是G的一个极大环面. 设k的特征不等于2.V是k上的n维向量空间，F是V的定义在k上的一个非退化二次型(即:对于v的某组基e，，，e。，型F(x le，十‘·十x。e。)是一个系数在左中的x，，…，x。的多项式).令G为V的所有行列式等于1且保持F的非奇异线性变换构成的群.它定义在k上.令气为el，…，e。在k上的线性包，它是V的一个k形式.在V中总存在一组基f1，…，fn，使得 F(x:ft+二+气人)=x!x。十xZx。一，+ +·‘’十xpx。一P+、，其中，当n是偶数时p=。/2，当。是奇数时P二(。+1)/2·在这组基下，由形如{{aol{，其中当i护，时a。=o，而对i二l，…，尹，a“a。一，、，。一‘+，二1的矩阵为元素构成的G的子群是G中一个极大环面(从而G的秩等于。/2的整数部分).一般地，这组基不属于V‘.但总存在V*中一组基h、，…，气使得二次型可写成 F(x，h:+…+x。h。)= 二x，x。+…+x，x。一，十:+F0(%;、:，“‘，x。一，)， q>P，其中F。是一个在k上非迷向的二次型(即方程F0=O在k中只有零解，见V竹tt分解(Wittd邸mpo-sition))、在基h，，…，h，下，由形如}}a。

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