补充资料：Cauchy问题，常微分方程的数值方法

Cauchy问题，常微分方程的数值方法
audiyproHem, numerical methods for ordinary differential equations

Ca‘hy问皿，常橄分方程的数值方法【Ca“由y脚曲幻11，numeri因me山川s址。浦n.令山价跨n柱al equ劝舰s;Ko山“3a几a，a，叼“c月eltH石此MeTo口‘1 pe山e““，皿几，浦姗u此eu“oro职中钾Peuu.a几研oroyP韶ne..，1 Q以为y问题是求满足一个微分方程(或微分方程组)的一个函数(或几个函数)，并在某固定点上取给定值的问题.设y(x)={yl(x)，…，yn(x)}， f(x，y)=仃l(x，y)，…，儿(x，少)}为分别在闭区间I=笼x:}x一al簇A}上和闭区域n二{(x，y):lx一al簇A，}{y一bl!簇B}内有定义并连续的向量函数，其中日.}}是有限维空间R”的范数.使用这个记号，我们可将一阶常微分方程的Q议为y问题写成: 少’(x)=f(x，少)，少(x。)=少。，x。。I，少。Ell.(I) 适当选择新未知函数可将任一常微分方程组(任意阶的)的Q议hy问题简化成这种形式. 如果函数f(x，y)在n中连续，问题(l)有解.对解的唯一性的充分条件是05即od条件(05即od condi石on): 1 1 f(x，川一f(x，少2)}】(。(}}少:习:}})，(2)其中。(t)函数满足 c(工、00.。*0.。>0. 毛.气l)或者是更强的Li声chitZ条件(Li声Chilz condltion): I}f(x，少、)一f(x，yZ){}簇L! .y，一y:}!(3)成立，数L称为Li详Chi仪亨攀(Li声chitZconstant)·如果f(x，力对y连续可微，那么Li详d腼tZ常数的一个可 能值为 “一絮11常11·(4)在Li详chitZ常数(4)太大的各种情况下，用数值方法成功地解Q雀hy问题要求专门的数值技术，尽管从理论上讲这个问题是唯一可解的.特别是矩阵(方/日x)的本征值“很分散”时，即最大的本征值是最小的儿百倍甚至几千倍，就出现这种情况.这样的微分方程组称为刚俘枣邻s叮s”‘)，对应的问题称为刚件。“力y卿覃(s叮CauChy probl~)·刚性系统的一个“源”是偏微分方程(例如通过直线方法)到常微分方程组的转换. 常微分方程的数值方法通常包括一个或数个公式，它们确定在离散点列凡(k=0，1，…)上要找的函数y(x)的关系.这些点的集合称为网格.一般的数值方法以及特别用于微分方程的数值方法，其基础是由L.Euler建立的.解0以为y问题的最简单的方法之一就是以他的名字命名的.这个方法如下.将问题(1)的解展成关于点xk的几尹or级数: (x一x。

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