补充资料：除数问题

除数问题
divisor probknts

【译注】关于D侧d山t除数问题，目前(1922)已知的最好结果是 0落华 22’这个结果是H.1协吸n篮‘与C.J.Mo左仪沥于1988年得到的(见IBI]).除数问题【击谁姗脚曲妇.;解~姗益nPo6~从] 数论中与求和函数 D(x)=艺:(n)，众(x)=艺:*(n) n《x.‘x(其中，叮n)是n的除数个数，而、(n)(k)2)是表n为k个自然数乘积的表法数)及其变形的渐近性态有关的问题. D州比det除数问题(D俪c1旧et divisor problem).这是在渐近公式 艺:(n)=、hx+(ZC一l)x+△(x) 几落戈中余项△(x)的最佳估计问题，其中C是更加骊常数(E江ler cons切叮t).1849年P.D训d旧et首先考虑了和式 见:(n)=D(x) 八‘x的渐近式.他根据这个和等于在双曲线训二x下面具有正整数坐标的点(u，v)的个数这一事实证明了 。(x)=x inx+(ZC一l)x+o(石).这就是著名的羊于呼攀个攀的D州d旧et兮本(D泊比ilet几皿江场fort址力山川笼r of di油ors). 除数问题是典范之一，在这基础上估计各种类型扩展域内整点数的方法发展起来了，设口是关系式么x《x“中数“的最大下界.根据D州比亚t的结果，口(1/2 .r.O.Bo伪H成证明了0毛1/3.后来相继得到了下面的估计: ，33。，27。/15。，13 0(~念~，0簇箫，0(份，口共希· U一l田’U一82’“一46’一40△(x)的真正的阶还不知道(1988)，依照某种假设有 △(x)<O，c>1，公式 C十盆丈 _、If。;、x， 刀月砚义l=，二--，，仁~15，-二-召S 一‘、一”2兀i。其。’、一，S成立.这里的被积函数在点s二1有一k级极点，具有形如xP*(inx)的残数，其中凡是k一1次多项式. 设 从(x)=x凡(inx)+△*(x)，并设下‘<下<1，其中下*是使得 f丛鱼竺)~已、t<二. 一初!口一“l成立的数口的最大下界.则公式 ，十‘T 1二犷，、、xJ A(X)=气二一代~山nl乌’气S，一忿~45亏 。:、一2兀iT一。_叱，一、‘S ‘j“’一下一犷T与Mellin令术(Mellin fonTll血)的反转公式 兰边.一f△二。二、:一:己二，，一。+‘: s石皆成立，其中积分对于下*<『<1在均方意义下存在. 在关于Dk(x)的公式中，对余项△*(x)的估计与所期望的仍相距甚远(1988).对任意:>O，设“。是使 △*(x)<0，使得 气‘，一声，k一2，3，·…这个估计来自对乙(s)在临界带内的一个估计:对于1/2续‘(l，}tl)2，存在常数a>1，使得 乙(口+ir)<<}rl“(’一)，‘’加1 r 1. 另一方面，E巨心y证明了 、k一1 气)气一‘ 一飞Zk 关于△。(x)的值有一假设:对所有k)2， k一l 气=.万万~但是还不能证实，即使解决了I血日日既假设(L幽众必fh男沁th岛is):对于任意。>O，a>l/2，有 心(口+it)<<}tl‘，也无法予以证明. 除数问题的进一步推广如下([4]):当x)1时，关于整数k)2，m)1一致地有 上又::闻L函数理论的解析方法进行研究，在数论的大t问题中(!7】)非常重要.在最简单的情形(橄二l)下得到的渐近表示式有: 当介=2，对于d‘xZ/，皿【51); 当k=4，对于d簇x’/2(见[6】): 当k)4，对于d(xZ/k/in‘x(见[8]).对任意。)l和k二2，已求得(【9】)增长的真正的阶(、)当d簇x，一“，o<:0是任意数. 特别地，最后的不等式表明，对于任意整数k)2，m)1，和砚词(炭d，l)与具有公差d‘xl‘2一‘的全部本原算术级数在“平均”意义上有相同的增长的主要项.

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