二十世纪最伟大的数理逻辑学家--哥德尔

（一）哥德尔及其主要数学成就

哥德尔（godel，1906～1978）生于现捷克，卒于普林斯顿。廿世纪最伟大之数理逻辑学家，其不完备定理是廿世纪最具启发性的思想发现之一。

godel自小便很好奇，青少年时即对数学、哲学、语言与历史产生极大的研究热诚。他在维也纳大学原主修理论物理，后转回数学，并参与 schlick（石里克）领导的「维也纳学圈」，对数学与科学作本质的哲学探索，1928年因听了 brouwer 的演讲，乃致力于数理逻辑的研究。

自19世纪中，由于非欧几何的确立、分析严格化的要求与罗素悖论的出现，数学基础的问题吸引许多一流数学家的眼光，当时数学∕哲学家热切地想将数学确定性的大厦奠基于某种不可怀疑的基础上，虽然多数人都很乐观，但是从 hilbert 与 ackermann 在1928年提出下列的未解问题：「一阶逻辑是否完备(complete)或可决定(decidable)？」，显示整个基础化计画的进度十分缓慢。1929年 godel 初试啼声，漂亮地在他的博士论文中证明一阶逻辑的完备性，给 hilbert 的计画打下一剂强心针，但是不久后(1931)，godel 却证明了他最知名的「不完备定理」：

设s为一包含算术系统的公理系统，若 s 兼容（consistent，即不自我矛盾），则 s 不完备（即在 s 中有些叙述为真，却无法由 s 的公理推导出来）。

使数学界（尤其是 hilbert 学派）戏剧性地经历烈火寒冰般的巨变。godel 也因此声名如日中天。1933年他应邀访美讲学演说，此行他结识日后的挚友爱因斯坦。30年代的欧洲弥漫着法西斯的气氛，godel 亦师亦友的 schlick 也因此被刺杀，这个噩耗使他陷入精神沮丧，终其一生困扰着他的研究生活。大战前夕，他完成另一个重要的工作─证明选择公理与连续统假设皆与zf集合论兼容。1940年他经由俄罗斯、日本到达美国，从此定居于普林斯顿。

godel 在美国的研究重心，逐渐转移到其它方面。由于与爱因斯坦时相往来，40年代末，godel 致力于探讨广义相对论与时间的意义，证明循环时间与爱因斯坦方程并无矛盾（他还因此在1950年的国际数学家会议提出报告）。另外，godel 一直从事于哲学的深度思考，专心研读 leibniz、康德、husserl（胡赛尔）等的著作，留下的哲学思考笔记无数，还没有充分地编注印行。godel 晚年（1971年起）时常与华裔逻辑∕哲学家王浩讨论，并因而促成王浩撰写《reflection on kurt godel》的佳话。godel 个人包办了数理逻辑几个经典定理，并为整个领域带来革命性的风貌，堪称是廿世纪最伟大的数理逻辑学家。尤其是他的「不完备定理」，由于暗示了一个理性系统不可能是全知的想法，经常被引申（或过度引申）到其它领域。例如：自然是无法被人类了解；语言是没有界限的；心灵无法认识自己等。非科学家最常引用的数学定理，竟然如此晦涩，也该算是廿世纪的数学奇谈了。

（二）阅读材料：感悟《哥德尔》

有一个人曾在不到两年的时间内让数学界感受了大喜与大悲的经历，他就是哥德尔（kurt gödel,1906.4.28-1978.1.14）。

1929年秋，哥德尔在他的博士论文中证明了一阶逻辑的完全性，这对于当时试图以“公理化”方法构建数学基础的形式主义学派是一个莫大的鼓舞。希尔伯特，形式主义学派的领军人物，确信他的元数学和证明论将会成功地确立全部数学的相容性和完全性。哥德尔的逻辑完全性定理似乎表明曙光就在前头。1930年夏天，柯尼斯堡，康德的诞生地，也是希尔伯特的故乡，在接受“荣誉市民”受礼仪式的演说中，希尔伯特坚定地说出最后一句话：“我们必须知道，我们必将知道（wir müssen wissen. wir werden wissen）”。

但就在第二年，哥德尔发表的另一篇论文却打开了“潘多拉的盒子”。