补充资料：Riemann曲面的双层

Riemann曲面的双层
double of a Rtemam surface

R七na旧曲面的双层【d阅盛ofaR班”创口.溯面伙;口y-叙‘入Mao.阅亩。璐ePxHocT。」 有限R让”lann曲面(Ri日rr团Ins也faCe)R的一个双叶硬盛曲面(co祀nngs也企Ce)以每个内点p〔R对应于双层w的一对点p和瓦换言之，两个共扼点p和下位于p上.R的边界上的每个点q对应于一点q‘w.此外，点p，万。w的两个不相交邻域位于一个内点p“R的每个邻域之上.如果z是内点p任R的一个邻域中的局部单值化参数(1o司训ifo爪斌乙ng Pa~ter)，则它也是W的位于p上的两个共扼点之一的一个W邻域，例如点P任W的一个w邻域中的局部单值化参数;于是在共扼点万的一个w邻域中，变量:的共扼复数万就是一个局部单值化参数.如果2是R的边界点q处的局部单值化参数，则在W的一叶上等于z而在另一叶上等于万的变量就是位于该边界点之上的点q任W的一个局部单值化参数. 在紧可定向Rjen坦rm曲面R的情形中，其双层简单地由两个紧可定向R渝narm曲面组成，因而双层的研究不再有什么意义.在所有其他情形中，Rlen坦叮n曲面的双层是紧可定向Rlen州Lnn曲面.用这一事实可把R上函数的研究归结为W上函数的研究，从而简化R上函数论的某些问题的探讨.W的亏格(见曲面的亏格(邵nus of as扭face))是夕+脚一1，其中召是尺的亏格，川是R的边界的分支(假定它不退化)数.例如，单连通平面区域的双层是球面，而爪连通平面区域的双层是具有川一1个环柄的球面. R心rr以nn曲面R上的解析微分(见R妇.1.1曲面上的微分(d江re脚甸。n aR七maxins以企印))是其双层评上由下述事实刻画的解析微分:它在评的共扼点处取共扼值而在位于R的边界点上的点q‘体处取实值【补注】构造双层RieIT坦叮n曲面的过程称为加倍(duP-五口石朋).这种过程可应用于任一具有边界(见边界(流形的)(加训山叼(ofa甘曰恤fold)”的连通二维流形(t卿~dinl沈招沁mlrr坦nifold)M以作出M到一个连通二维流形的正则嵌人(见【AI]，芍13.H).

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