补充资料：二重平面

二重平面
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二重平面【d阅翻阮内此;及.0面。a一月oe“oeT‘1 作为超椭圆曲线(勿详r一翻pticc~)的二维类似物的代数曲面.代数闭域k上的非奇异代数射影曲面X称为二重平面(double plane)，如果它的有理函数域k(X)是两个变量的有理函数域的二次扩域.当域的特征数异于2时(以下总假设这一条件满足)，任何二重平面都双有理同构于三维仿射空间内由以下方程 z，+r(x，y)=o所确定的仿射曲面.这种类型的曲面有时也称为二重平面.对于每个二重平面X，存在一个到射影平面尸，(k)里的态射f，它可分解为到某个正规曲面戈上的一个双有理态射 势:X~戈以及一个二次有限态射 中，:筑~尸，(k)的复合·态射中.的分支曲线W被称为于事于西的分支曲线(b琦Lnclljllgc~of the double pla理)(一般不是被X唯一确定的).二重平面的分支曲线在二重平面的研究中起着重要作用.它可被用来计算二重平面的数值不变量.如果W是不可约的，则二重平面X的非正则性为零.如果W的次数(它总是偶数)等于2k，并且W的所有奇点都只是通常二重点或尖点(见代数曲线的奇点(s ingLI】ar point))，那么算术亏格几(X)和Edler示性数x(X)(拓扑的或l进的)可由下列公式算出: Pa(x)二业卫攀鱼，，(x)一4k2一、6. ra丫一尸2’“犷-在一般情形存在双有理态射F~尸(k)，使得X和F在尸(k)上的纤维积的正规化见到F上的投影是一个2次的有限覆叠，其分支曲线W是非奇异的(可能是可约的).在这种情形下有以下公式: =、.，(命、(w、2 几(X)=几(X)=l一咨气以‘一、。’ 了“、‘一/ra、一产一48X(X)=2x(F)一X(万).对于射影平面上的任何偶次曲线附，总存在一个二重平面以砰作为分支曲线.选取适当的曲线体往往能解决具有给定不变盆的代数曲面的构作间题([1]，【3〕). 二重平面的分类是在各个曲面类里分别地进行的，有理的和线性的二重平面已在【51中被描述;本身是椭圆曲面(e正ptic suJ吸沈e)或幻曲面(K3·s斑face)的二重平面已被列举在【3]中.许多基本类型的二重平面的例子已在【3]，【4}中被研究.

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