补充资料：带最高权向量的表示

带最高权向量的表示
representation with a highest weight vector

带最高权向最的表示汇代脚曰即妞d加.袱山a玩沙时舰吵t伯比皿;nPe军Ta姗H“e co cTaP山“MBe翩POMI 特征为零的域k上的含分裂Ca到巨n子代数(C教r-tan subal罗bra)t的有限维半单分裂疏代数g的具有以下性质的线性表示p(见玩代数的表示(rep-“污elltatlon of a Lje algebm)). l)在p的空间V中存在一个循环向量。(哪玩代以。r)(即F是含v的最小g不变子空间). 2)对所有h任t，p(h)v二又(h)v，这里又是t上的值在k中的某个固定的线性型. 3)若:，，…，。;是g关于t的所有根的集合△由字典序确定的一个单根系(见根系(roots邹记m))，气，七，，气是g的对应于::(i二1，…，;)的。犯论-lley基中的向量，则对所有i=l，…，;，p(汽.)(。)=0.这样，又是关于P限制于t的权(见1」e代数表示的权(枕电址ofarep心entationofaLiea唇-腼));称为最高权(hl沙岛t枕lght).空间V称为带最高权几和生成元。的循环g模(仍d元g一mod-ule with灿gh岛t能j乡It又and罗nej习tor。)，U称为最高权向量(」云沙比t忱ight欢tor). 对t上每个线性型又，存在g的在等价意义下唯一的带最高权兄的不可约表示p;.由P*确定的g模V(劝是p*限制于t的权子空间的直和.它们的权有形式 “一，各”‘:。，这里n‘是非负整数.权产的权子空间V;(劝是有限维的，由形如 (户、(人.)·‘’p:(j二))(v)的向量在k上张成，对任何h“t，p*(h)在V，(对上的限制是科(h)的标量乘法算子.空间F*(又)是一维的;权几是p*仅有的最高权，并可刻画为t模V(幻的使得其他权具有形式 “一乙n，“，的唯一的权，这里邢，是非负整数. 表示p*是有限维的，当且仅当又是t上的支配线性型(dominantlin口r form)，即对i=1，二，;，又(气‘)是一个非负整数.q的每个有限维不可约线性表示均具有p遏的形式，其中几是t上的某个支配线性型(因而所有这样的表示在等价的意义下由t上的支配线性型分类).有限维表示P，关于t的全体权的集合在g的幼触尹群(叭触刃脚叩)(视为t的线性变换群)作用下不变，如果拜和y属于W妙l群的同一轨道，则空间V，(幻和V，(幻维数相等·对每个权拌和每个根“任△，召(h。)是一个整数;此外，如果拜十“也是一个权，则 尸(e:)(V，(又))护O(这里h二是t中对应于以的元素，e:是“的根向量).

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