补充资料：函数方程

函数方程
fimctional equation

间【X}中的抽象函数.这个方程是最简单的抽象线性微分算子方程;例如，它是由应用参数变分直接法去构造形如P(A)=e一心(O城兄<的)的算子而得到的，特别地，是由构造具有单位范数的投影算子P(A)([p(A)}，=P(A))而得到的.例如，形如P(A)，P(AC)及P(CA)，C‘[X}的投影算子，是用来以参数变分直接法构造显式的及隐式的伪逆算子和线性函数方程的伪解，以及算子A的本征值(本征空间).当讨论解的近似方法时，将各种问题化为方程(2)或其他方程是很方便的.形如 么，、~、，，_、.~，_、、 目岑于‘A(兄)x+F(又)(=xA(又)+F(免))，x(0)=x。 d又的算子方程，其中A(劝与F(劝是取值于汇xl中的抽象函数，以及其他的线性与非线性算子方程，也是令人感兴趣的. 在与微分方程及其他方程有关的某些问题中，人们需要研究形如Ax十xB=y的一类线性代数算子方程.其中x是未知元，A，B，y是给定的线性算子，它们可取零值. 狭隘意义下的函数方程是指这样的方程，其中未知函数是利用函数的复合而与一元或多元已知函数联系起来.例如，设甲(x)(i=l，…，n)是给定的函数，并设甲(x)=f(x，c，…，C。)，其中c，是任意常数，从柞十1个方程 甲(中，(x))=f(职，(x)，C，，…，C。)，V二0，…，。， 切。(x)=x中消去C‘，导出了函数方程 F fx，甲(x)，甲(毋，(x))，‘’‘，甲(职。(x川=o，(3)它有解甲(x)=f(x，C，，…，C。). 构造函数方程是函数演算中的一个直接问题，它与在微分学中确定高阶导数相似. 从形如 甲’+’(x)二f(甲’(x)，C:，…，C。)，，=0，二，n， 甲0(x)二x，甲’(x)二甲(x)，甲’(x)=甲(甲(x))，…的n十1个方程中消去C，，导出了形如 F【x，甲(x)，甲，(x)，…甲几+’(X)l二o(4)的函数方程，它具有解甲(x)=f(x，Cl，一，C。). 有时通过阶及类来区分函数方程.一个函数方程的阶(。比坛r of a fLmCt沁八时闪业t沁n)是指方程中未知函数的阶，而一个函数方程的类(da粥ofa加nctional闪旧t沁n)是指涉及未知函数的那些已知函数的个数.这样，(3)是一个阶为1类为n十1的函数方程.方程(4)则是一个阶为n十1，类为l的函数方程.关系式(3)与(4)都是关于x的恒等式，但称为方程是由于它含有未知函数甲(x)在内的缘故. 方程(3)与(4)都是具有一个未知变量的函数方程.可以考虑具多个独立变量的函数方程、分数阶的函数方程，等等，以及相容的函数方程组.此外，函数方程或函数方程组与具有最大个数变量的未知函数相比，可以含有更多基本的、本质上不同的变量. 函数方程组产生于，例如说，当决定任意函数时，这些任意函数出现在偏微分方程的积分中，并满足问题的条件如果”个任意函数出现在积分中，那么令它们满足n个条件，便得到n个相容的函数方程.在某些情况下，将函数方程组写成更简短的如同向量或矩阵函数方程的形式是方便的. 函数方程也可以看成某个函数类的特征性质的一种刻画〔例如，函数方程f(x)=f(一戈)(分别地，f(一x)=一f(x))，刻画了偶(分别地，奇)函数类;函数方程f(x+l)二f(x)刻画了周期为1的函数类，等等). 一些最简形式的函数方程，例如有Qt‘hy方程(Quehy叹uations)， f(x+夕)可(x)+f(夕)，f(x+夕)=f(x)f(夕)， f(xy)‘f(x)+f(y)，f(xy)=f(x)f(y)，它们的连续解分别是 f(x)=Cx，ecx，Clogx，xc(x>o)(在不连续的函数类中可以有另外的解).函数方程(5)，连同连续性的附加要求，可以用来定义所指的函数.具有三个或更多个未知函数的广义QuChy函数方程也已经考虑过.对复数域中的函数方程亦然.函数方程尸(f(x)，f行)，f(x+夕))二0及毋(f(x)，f(y)，f(习))一0，分别称为关于函数f(t)的如褚宇琴(ad由tiont坛”~)及季捧宇理(功川印石口tion此-~).例如，依赖于两个变量的未知函数的最简单函数方程是 职(x，y)+毋(y，z)=势(x，z)及 甲(x，y)价(y，:)“价(x，z)，它们的解分别是 ，(，，:)一，(，)一，(:)及，(二，，)一群共， 甲又x)其中甲是一个任意函数.函数方程【伽州比臼】闰.位扣;中yoK朋即.a刀“oe”aa-.oej一 一个方程(线性的或非线性的)，其中未知元是某个具体的(函数)或抽象的E以几汉h空间中的元素，也就是说，一个形如 P(x)=y(l)的方程，其中尸(x)是某一个算子，一般而言，是非线性的，它将B空间X中的元素变换为同类型空间丁中的元素.如果函数方程中含有另一个数值(或者，一般地，函数)参数又，那么代替(l)，写成 P(x;又)=夕，其中x任X，夕CY，几任A，而A是参数空间. 具体的或抽象的、常及偏微分方程、积分方程、积分微分方程、函数微分方程，以及数学分析中更复杂的方程均为类型(l)的方程，有限及无限的代数方程组、有限差分方程等等，也都属于这一类. 在线性情形中，考虑第一类函数方程Ax=y及第二类函数方程x一又Ax“y，其中A是由X到丁的线性算子，而又是参数.一个第二类函数方程可以形式地写成一个第一类方程Tx二y(T=I一又A).然而，将单位算子I分出来考虑是有益的，因为A较T可以有更好的性质，它便于更充分地研究所考虑的方程. 也可以在其他空间中考虑函数方程，例如在由某个半序集中的元素来赋范的空间中考虑. 如果一个函数方程的解是一个算子空间中的元素，那么这样的函数方程称为一个具体的或抽象的算矛亨程(。详份tor叹一)这里代数算子方程也可以是线性的或非线性的、微分的、积分的，等等.例如，考虑将B空间X映入它自身的线性算子的赋范环【X」二「X~X】，并在其中考虑无穷区间O(又<的上的常微分方程: dx 共于=一月戈(=一xA)，x(O卜x。_(2) d又一“‘一‘一少”“一了一O’、奋，其中A，x。可Xl，且x(劝是一个取值于E以朋比空【补注】虽然形如Af“g的方程可以看成为函数方程，其中A是一个线性或非线性算子，且f，g是某些函数(Ban朗h)空间中的元素，但是按照函数方程所据以取名的数学领域来说，它们几乎不能被看成是典型的.更加典型得多的是上面提到的Ca‘勿方程(可能是最初等的例子)，以及诸如孙加。汀德方程(几放班诊闪姐石叩)F(a:)二aF(:)(l一F(:))，在混沌理论中处于中心位置的方程(而且对衡量普遍性是可靠的):G(x)“又一，G(G以x))，R免n玺”mC函数(沈协一血闻由n)所满足的函数方程，以及杨(振宁)-刀以x把r方程(Y执ng一B时加reqUation)，它要求一个矛x矿矩阵R(刃，即一个依赖于u的线性态射C.⑧C”~C”⑧Cn，使得 (IQR(。一))(R(u)⑧I)(I⑧R(V))“ =(R(V)Ql)(IQR(“))(R(。一。)⑧I)(如同C”⑧C”匆C”到它自身的态射). 最初的函数方程可追溯到古代(见【All)中的第一篇论文，而其他早期的例子(除Ca议无y方程外)有J。签￡幻甲攀方攀(Jen别习1丘川Ct沁侧四调石皿)f((，+y)/2)=(f(x)+f(，))/2与d丫犯。刀bert事程(d’AI。力玩成叫以由n)g(x+y)+g(x一y)=29(x)g(y). r函数(罗叨ma一伍叩由n)r(约满足函数方程 Y(:+l)“:T(z)以及在r(22)=(2，’一l)r(z)r(z+l/2)，其中第一个亦称为E认贻r函数方程(E山er加酬面。到叭闪旧-6on). 关于函数方程理论的基本想法以及它在流形上的应用见[All一tA61，文献tAZI包含了到1久抖年为止很广泛而又很完全的文献目录. 另两个经典的函数方程是Se址浏巨函数方程 (女址往北r兔叩tiO侧吐闪以由n) f(h(x))“cf(x)以及勉强有关的A比1函数方程(A比l丘m面onal闪Ua.由n) f(人(x))=f(x)+1. 再次考虑却捧牢粤的呼攀方碍(目由山几叭也即n劝丘m以沁互词闪旧石。n)F(f(x)，f(y)，f(x+y))”0.假设F(u，v，w)是左，v，w的一个多项式.如果f(x)是一个半纯解，那么f(x)必定是有理函数，或是exp(cx)的有理函数，或是一个椭圆函数，这便是叭几记玲甘留s定理(Weie巧饥珊山阳n汀n).这个结果的一个推广是建立在氏h访n及Drinfel，d[A7〕关于取值于单赚代数g的经典杨(振宁)一R玖姗方程区‘2(u，，uZ)，X1，(。，，。。)]+[r，(“1，“2)，X23(“2，。3)]+ +[x，，(u，，u3)，X23(u之，u3)卜0的解之分类的基础上的，其中x(。，约是9 xg中的一个元素，且x‘，(“，。)，x‘，(u，v)，护(u，v)分别是X(“，v)在嵌人映射9 09卜U。⑧U。。U。，“。b!~“④b⑧I，a⑧b巨a⑧I⑧b，aob巨I。“⑧b之下的象，而U。是g的泛包络代数·杨 (振宁)一Baxter方程在经典的以及量子的完全可积系统中是重要的. 函攀攀分方程(几md沁八目d沮h曰币目闪琳加m)以及延滞微分方程(山hyd述rerent词闪甲山m))是一个与fAI]一「A61以及上面的函数方程相距较远的课题.它们包含了那些由V.VOltena在掠夺猎物模型中研究过的积分掌分亨俘(加忱gro一由肚代川勿1闰ua由斑)， 0方，(。)一{。，一，，、2(，)一丁r，(一。)NZ(，+。)即，，，(，)， 0为2(;)一卜。2+，2、(。)+J凡(一。)、，(。+。)d。INZ(，)，以及方程 *(:)一丁。(:一。)。((。))‘， 亡~r后者出现在循环燃料反应器的研究中.具有偏差自变量的微分方程(见具有分布自变t的常微分方程(di巧er-即阔闰ua如佰，佩如训，侧th面白ibu加da嗯边在滋ts))也属于这个一般类中一类重要的方程是堆得掣丁雌甲数微分方程(脚eral血叩tional由[fe记nt间闪谬山斑of比恤心司t男父)， 又=f(t，x:)，其中f是R火C~R”的一个函数，C是一个适当的函数空间(一的，0j巨R”，且x，代表函数01~x(t+0)，一的<口(0.缩写RFDE(”推迟函数微分方程)经常使用.更一般的是中性函数微分方程(NrDE)(讹助阁几.币。几叔山晚卿t汉闪皿石。

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