补充资料：弯心

    　　梁截面所在平面内的一个具有如下特性的点：当剪力通过该点时，截面与邻近截面间无相对扭转。对于等截面直梁，若每个截面上的剪力都通过弯心，则在整个梁中将只有弯矩而无扭矩。因此，为了减小梁中的扭矩，就必须确定弯心并在设计中尽量使载荷通过弯心。弯心的研究对薄壁梁型的航空结构尤为重要，因为它和结构的颤振等气动弹性分析密切相关。
　　
　　弯心的求法因梁截面的几何形状而异。若截面对称，则当剪力通过对称轴时，截面不发生扭转，因而可知弯心必在此轴上。如果截面有两个对称轴（如矩形或椭圆形截面），则弯心必在两轴的交点上。下面是求几种常用薄壁梁弯心的方法：
　　
　　开截面薄壁梁 　开截面薄壁梁的一个重要特性是: 在剪应力（见应力）沿壁厚均匀分布的假定下，对于某个几何形状确定的截面，剪应力分布规律是确定的，剪应力的合力作用点也是确定的，这个合力作用点称为剪心。由于仅当外力通过此点时才能被剪应力的合力所平衡而不引起扭矩,所以剪心就是弯心。对图1中的薄壁梁,由于剪应力的合力通过B点，所以该点就是弯心。对于如图2所示的任意开截面薄壁梁，弯心的坐标x_b、y_b可由外力和截面上的剪力合力对任意选定的坐标原点O的力矩平衡条件求得：
　　
　　
　　
　　
　　，
　　
　　
　　
　　
　　，式中ρ为O点到积分单元ds的垂距；l为薄壁截面的中线长度；S_x、S_y为截面静矩；I_x、I_y为截面惯性矩(见截面的几何性质)。积分沿中线进行。
　　
　　单闭截面薄壁梁 　这种梁的剪应力分布规律比开截面复杂，一般不完全取决于截面的几何形状。但弯心的位置仍可根据对某一点的力矩平衡条件求得，公式为：
　　
　　
　　　 ，
　　
　　
　　　 ，式中t为壁厚；A为封闭截面中线所包围的面积。积分沿封闭中线进行。闭截面中的剪应力随外力而改变，因此不存在确定的剪心。开截面薄壁梁中剪心和弯心一致的结论在这里不再适用。但由于闭截面可以承受扭矩，可推出如下的特性：因剪力作用于弯心不引起截面的扭转，根据位移互等定理，当扭矩作用于截面时，弯心不会移动，即整个截面绕弯心转动。因此，闭截面薄壁梁的弯心又称扭心。对于等截面直梁，各截面弯心的连线称为弯轴（又称扭轴）。在扭矩作用下，整个梁绕弯轴扭转。
　　
　　多闭截面薄壁梁 　多闭截面薄壁梁弯心的概念和单闭截面相同,但计算比较复杂,故常采用实验测定法。例如,图3中悬臂三闭室薄臂梁的弯心可以按下述步骤求出：首先将力P加到点1上,得到点1的位移⊿₁₁和点2的位移⊿₂₁；然后再将力P以相反的方向加到点2上,得到点1的位移⊿₁₂和点2的位移⊿₂₂。当上述力同时作用在点1和点2时,点1的位移为⊿₁₁－⊿₁₂，点2的位移为⊿₂₂－⊿₂₁，截面其他部分的位移可按直线关系求得。由于是纯扭转，故弯心(即扭心)应在位移等于零的点，即图中的B点。
　　
　　实心截面梁的弯心可用弹性力学的方法求得，但比上述求法复杂。
　　
　　

参考书目
　　　冯元桢著,冯钟越等译:《空气弹性力学引论》，国防工业出版社,北京,1963。(Y. C.Fung,An Introduction to the Theory of Aeroelasticity, John　Wiley　& Sons, New York, 1955.)
　　　J. T. Oden,　Mechanics of　Elastic Structures, HemispherePub. Corp.,Washington, 1981.
　　

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