补充资料：微分包含

微分包含
differential induskn

，/dx、、八 f!r，x厂竺舟})0: ，、一’dt广一’来自具有不连续右端的微分方程“l]，第2章);以及来自最优控制理论(【3]，【2])等.在控制问题中最常考虑的是方程 dx 二二竺二“f(t .x .u)、(2) dtJ、一””一”、一其中x=x(O是要求的向量函数，而u二“(t)是控制，即可在所有容许控制(详m理洛ible con往Dls)之中任意选择的向量函数(即对每个t，使得u(t)6U，其中U可以是依赖于t和x二x(t)的一个给定的集合).对所有容许控制“=u(t)，方程(2)的解集满足微分包含(l)，其中，F(:，x)是当u遍历集合U时，函数f(t，x，u)的所有值的集合. 在微分包含理论中，通常假定，对所考虑的区域G中的任意t，x，F(t，x)是n维空间中的非空有界闭集.如果集合F(t，x)是处处凸的，且对任意t，是x的上半连续函数(叩沐r货爪刀一contill田出丘mcd‘〕n)(即对任何t，x和任何。>O，对所有充分小的】x’一刘，集合F(t，x’)包含在集合F(t，x)的。邻域中)，而对任意x，它是t的可测函数(即对刀维空间中的任意点x和任意球B，使F(t，x)门B是非空的t的值集，是玩b乏gUe可测的)，并且，如果F(t，x)总是包含在一个球}xl(阴(t)中，而函数川(O是玫比g肥可积的，那么对任意的初始条件x(t。)=x。((t。，x。)任G)，微分包含的解存在(【4])，且由这些解构成的积分管子(访雌刘丘mnel)显示出通常的性质(【41).如果F(t，x)关于x是连续的，则对集合F(t，x)是凸的要求可以去掉.解的存在性被保持(!5J).但积分管的性质未被保持. 介绍微分包含以及有关这类包含与控制问题之间的联系的著作见【6]，汇71.关于微分包含的稳定性概念见「8]，【lJ;关于有界与周期解的存在性以及其他性质见tl]，f6]，仁71.微分包含「山石比曰血lil.d理叙.;八呻中e脚二幼曰oeB彻份，e朋e]，多值微分方程(multi绷习峨幻di价汗n石al叫ua-由n)，具有多值右端的微分方程(山压翔即垃目闪班由n俪比功川桩一节习议过石沙t一性玫己s让七) 关系式 dx_一， 常“F(‘，‘)，(，)其中，x=x(0是在某一区间上的未知向t函数，F(t，x)是依赖于数:及向量x=(x，，…，凡)的。维空间中的一个集合.微分包含(l)的解通常理解为一个绝对连续的向量函数x(O，它在所考虑的t的变化区间上几乎处处满足关系 兰丝业。F(t .x(t)). dt特别地，如果集合F(t，x)是由单个点组成的，则微分包含就变成常微分方程dx/dt二F(t，x).若Dx(t)‘F(t，x(t))，其中Dx(t)是一个切锥(con甸卿t)([l])，则这类方程在很多情况下等价于微分包含. 微分包含的产生，例如，来自涉及在所需的精度 …争一“!，·(!))卜名内满足微分方程的函数的问题;来自微分不等式

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