补充资料：无偏估计量

无偏估计量
unbiased estimator

无偏估计里【训挽”目巴山旧奴甘;uecMe山.。二oue~] 数学期望等于被估计的量的统计估计最(statist派destin卫tor).假设随机变量X取值于样本空间(王，黔，尸。)(e任0);拟根据X的实现估计函数j:0~。，f是从参数集O到某个集合O的映射;选统计量T=T(X)作函数f(0)的估计量.如果对于一切e‘O，统计量T满足 〔。{T}一丁T(二)己尸。(二)一f(。)， 王则称T为函数f(0)的无偏估计量(皿b此ed estjlll主-tor).常称无偏估计量无系统误差. 例1.设随机变量X.，…，戈的数学期望同为日，即 E。{X，}二·一〔。{Xn}二口.这时统计量 T一c IX:+…+几戈，cl十…+c。一l是数学期望日的无偏估计量.特别地，观测值的算术平均值X二(x、+…十戈)/n是口的无偏估计量.在该例中f(口)三小 例2.设XI，…，戈是独立服从同一概率分布的随机变量，其分布函数为F(x)，即 户{X，O， 、--一，“Jk!由于E{X}=口，故观测值X本身就是其数学期望口的无偏估计量.同样，例如统计量X(X一1)是函数f(田二扩的无偏估计量.一般，统计量 厂rl=X(X一1卜·(X一+l)，r=1，2，…是函数f(的一口r的无偏估计量.特别地，由此可见，统计量 T(X)=l+艺(一l)rXI·， r~!是函数f(0)=(l+口)一’(0<口0)的同一PoisS0n分布，其母函数 g:(口)=exP{0(z一l)}是整解析函数，从而有唯一无偏估计量.这时，X=X，十…十X。是充分统计量，服从参数为”口的Pois-son分布.如果T(X)是g:(的的无偏估计量，则它应满足无偏性方程 E。{T(X)}=夕:(口)=e”‘，一”.由此可见一，、、一{‘誉)(;)*(卜青)一，若。、、、、T(xl二之八 七o，其他即参数为X和1/n之二项分布的母函数，是Poisson分布母函数的无偏估计量. 例6一9表明，在实际中相当常见的情形下，如果局限于无偏估计类，则正是由于无偏估计量的概念，使求最优估计量的问题变得容易解决.A.H.K朋-Morope日(【1」)研究了建立无偏估计的问题，特别是参数未知时建立正态分布函数的无偏估计量的问题.无偏估计量更一般的定义属于E.址加mnn.按E.玩h-Inann的定义(见[21)，参数0的统计估计量T=T(X)关于损失函数L(口，T)称为无偏的(unb此ed)，如果对于一切口，口‘任0，有E，，IL(日’，T(X))})E‘，{L(0，T(X))}·此定义的变形见13].在相当宽的条件下，10.B.JI扣l-皿K及其学生(见【4〕)证明了最优无偏估计量与损失函数无关.

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