哥德尔不完全性定理这本书是世界数学名题欣赏丛书之一.哥德尔是德国著名数学家,不完全性定理是他在1931年提出来的.这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化,更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑.该定理与塔斯基的形式语言的真理论,图灵机和判定问题,被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果.

该书从哥德尔的生平介绍起,及其所处的历史背景.并叙述求学过程中所遇到的伟大数学家对其所造成的影响,由於个人的聪明及努力,使得在数学界里有卓越的贡献,尤其是在逻辑上的.因此本书也介绍了逻辑的基本概念及演算,最后再阐述其重要著作——＂不完全性定理″,及该著作所蕴涵的意义.

提到逻辑,该书先从命题逻辑开始介绍,将它应用於一般句子转成符号,就可以显示推理的有效性.例如:

这块地种麦子,或者种蚕豆.

这块地不种麦子.

所以,这块地种蚕豆.

当用符号p,q分别表示命题``这块地种麦子",``这块地种蚕豆"时,上述推理可写成

p或q

非p

所以q.

甚至在数学逻辑上,会将``或,非''等等这类联结词用符号表之.

~:非(否定) , :或 , :且 , :则(蕴涵)

等值

因此,上述推理可写成

pq

~p

q. (表示所以)

但有些推理的有效性,在命题逻辑中不能显示.例如三段论.因此,引进谓词逻辑在所难免.而陆陆续续介绍真词表,谓词演算,完备性定理都在做``不完全性定理``的前引,当中符号的使用更是多,在此不再赘述.

概括言之,其成就该定理的过程如下:

(1)哥德尔於1906年出生在现今捷克斯洛伐克的波绿因(brno),而欧洲可说是数学最发达的地区,由於本身的聪敏及环境的耳濡目染,使得数学成绩一直非常优秀.

(2)十四岁那年由於读了著名的格申丛书中的一本初等微积分教科书,开启他对数学的兴趣.

(3)进大学后,菲利普富特温格勒的数学课和海因里希贡佩兹的哲学课马上吸引了他.由於他对精确性十分感兴趣,促使他从物理学转向数学,数理逻辑.

(4)1930年因研究分析相容性的证明问题,虽没实现,却导致他的不完全性定理的证明.

(5)由於多才多艺的现代数学家----冯诺依曼表现了大科学家风度,既热情又严格,既有开拓精神又尊重事实,使得该定理更完美.

由此,可明白唯有努力的过程,才能找寻到自己的兴趣;锲而不舍地执著,方能有所成就.而伟大的胸襟,追求事实,才能开辟另一片天,观念也不致有失偏允.