补充资料：最佳逼近序列

最佳逼近序列
best appronmations, sequence of

　　最佳逼近序列!best aPp拍万mati姗，料此nceof;~J万，l川区.p近1.以曰侧函~e周叱.Te几~‘] 数列{E(x，凡)}伪二1，2，…，其中E(x，瓦)是用满足FIC凡C…的n维子空间瓦Cx对赋范线性空间X中的元素x所作的最佳逼近(best approximation)，显然有E(x，名))E(x，凡)乡…通常，F。是由X中某个固定的线性无关元素系{ul，uZ，…}中前n个元素线性张成的子空间. 19世纪50年代，n几月以元皿eB首次研究了当X=C[a，b]，且凡=衅为n一1次代数多项式子空间时的最佳逼近序列;实际上，1885年K.Weierstrass证明了，对任何函数x(t)任C[a，b]有 E(x，侧)。0当。、QO时·在一般情形下，当子空间凡(n=1，2，.:的并集在X中处处稠密，即 limE(x，凡)=0，对一切xoX时，关系式 U凡=X对所有x任X总是成立的(实际上，这是一个等价的陈述).然而，序列{E(x，式)}可以任意慢地收敛于零·这个结论来源于Ee户丑叮reHH定理(Berushiein theorem):如果{双}是赋范线性空间X中的n(。二1，2，…)维子空间序列，且F:C凡C…，刃不.=x，则对任何单调递减趋于零的非负实数列{践}，存在x EX使得E(x，助=气(n=l，2，·…在函数空间c相乌中，最佳逼近序列趋于零的速度既依赖于子空间系{凡}又依赖于被逼近函数x的光滑性(连续模，指定至某阶导数的存在性，等等)，收敛速度可借助于这些特征进行估计.反之，如果已知序列毛E(x，凡)}收敛于零的速度，就可得到关于x(t)的光滑性方面的论断(见函数通近，正定理和逆定理(aPProximation of functions，direct and inversetheorems)).t补社一】由上行戴〕的件质推出函数义‘C或无。的光滑性的定理是由D九ckson在19日年就代数逼近或 角逼近首次给故的，见J.ck姗定理口aeksont加。-fcm).与此相反田定理，即:由函数:。的光滑性推出l{(一、，点)的某些树质、已被5.N.Bernste，n和八.Zygmllnd所证明，见l祝哪川妇血.定理(B盯nshte、n theorem).亦见{AZ}的第4章第6节以及第6章第3节，
　　

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