补充资料：轨道的局部结构

轨道的局部结构
local stracture of trajectHies

　　轨道的局部结构【】仪川以n叹自四eof倾知俪es;加~朋c印y幻，，a，aeop戒]，二次微分的 定向R.，l.u.曲面(R祀n℃田ns也fa沈)上的二次微分(quadmtic由陀肥n石al)在该曲面任一点的邻域内轨道状态的一种描述.设R是定向R渝nann曲面，Q(z)dz，是只上的二次微分;设C是Q(z)dz，的所有零点与单极点的集合，H是Q(z)d:，的所有阶数)2的极点的集合.Q(:)d矛的轨道构成R\{C日H}上的正则曲线族.就推广的正则曲线族概念而言，在R\H上仍然如此.H的点的邻域内轨道的状态要复杂得多.下面给出轨道局部结构的完整描述. a)对于任一点p“R\{C日H}，存在尸在R上的邻域N及N到圆盘!wI<1(w=“+iv)的同胚映射，使得N内每条轨道的最大开弧变为于其上v是常数的线段.因而R\{cUH}的每一点有Q(z)d护的一条轨道通过，或是R上的一条开弧或是R上的一条Jo代lan曲线. b)对于任一拜阶点尸‘C(当p是零点时拜>0，当尸是单极点时料=一1)，存在p在R上的邻域N，及N到圆盘{叫<1的同胚映射，使得N内每条轨道的最大开弧变成于其上Imw(，+2)j2是常数的开弧.存在拜+2条以尸为端点的轨道且其极限切线方向彼此作成等角2二/(拜十2). c)设P‘H是阶数产>2的极点.若某条轨道有一端点在尸，则它必沿着作成等角2:/(召一2)的拜一2个方向之一趋于P.存在尸在R上的邻域N具有下述性质:l)通过N的某个点的每条轨道在各个方向或趋于尸或离开N;2)存在包含在N内的尸的邻域N‘使得过N’的某点的每条位于N’内的轨道在至少一个方向趋于尸;3)若某条轨道整个地位于N内因而在两个方向趋于尸，则从这相应的方向逼近尸时该轨道的切线趋于两个相邻的极限位置之一将尸添人该轨道所得的Jo双lall曲线所围成的区域D包含由这两条相邻的极限切线所构成的角中的点.当从这两个方向趋于尸时，与D有公共点的任一轨道的切线趋于这些相邻的极限位置.借助于函数杏一丁【Q(:)l告己:的适当分支，区域D被映射成半苹面Im心>。(此处c是实数);4)对于每对相邻的极限位置，存在轨道具有3)中所描述的性质. d)设尸任H是二阶极点，利用尸是点:二O，设:是局部参数.假定[Q(:)]一合(对于根式分支的某种选取)在z二0的邻域内具有下述展开式 [Q(:)]一号一(。+ib):{l+b::+bZ扩+…}，其中a和b是实常数，而b，，bZ，…，是复常数.:平面内二次微分Q(:)d:，的轨道的象的结构由下列三种情形之一成立所确定: 情形I:a笋0，b笋0.对于充分小的“>O，同圆盘l:}<“相交的每条轨道的象在一个方向上趋于:二O，而在另一个方向上离开}川<“.在{到<“内的轨道的象上，:的模和幅角呈单调变化.轨道的每个象绕点z=O盘旋而且渐近地呈一条对数螺线(fo-缪血hmic sPiral)状. 情形n:a裤O，b=0.对于充分小的“>O，同圆盘1:}<“相交的每条轨道的象在一个方向上趋于:=0，而在另一方向上离开}:1<:.在1:}<:内的轨道的象上，z的模呈单调变化.诸轨道的不同的象在点艺=O处有不同的极限方向. 情形111:a=0，b矜0.对于每个￡>0，存在数叮约>O，使得对于。<“毛州动，同圆周!:}二:相交的轨道的象是一条位于圆环:(l+。)一’<}:}<:(1+。)内的Jordan曲线.【补注】对于二次微分的轨道的概念见二次微分(q祥l-山旧ticd迁比rential). 这种描述本质上取自【l]的32节.对于二次微分的详尽处理亦见【AI]. 关于其整体结构见轨道的整体结构(global stiuctureof trajeCto璐).
　　

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